物理 / 運動量と力積

台形の F-t グラフ

★★ 標準力積F-tグラフ

問題

静止していた質量 $0.50 kg$ の物体に力を加えた。力は $0.10$ 秒で $0$ から $30 N$ まで直線的に増え、 $0.20$ 秒間 $30 N$ を保ち、その後 $0.10$ 秒で直線的に $0$ に戻った。(1) 物体が受けた力積 (2) 力を加え終えたときの速さをそれぞれ求めよ。

台形の F-t グラフ。面積(0.20+0.40)×30÷2 が力積

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グラフの形は台形。台形の面積の公式(上底+下底)×高さ÷2 に、どの長さがどれにあたるかを当てはめよう。

解答・解説

方針

力積は台形の面積。(上底 0.20+下底 0.40)×30÷2=9.0 N·s。速さは v=I/m。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 力積=F-t グラフの面積、はどんな形でも変わらない。今回は台形なので、面積公式をそのまま使う。上底(力が一定の区間 $0.20$ 秒)、下底(力がはたらいた全区間 $0.40$ 秒)、高さ $30 N$ である。

① 力積(台形の面積)。

$I = \frac{( 0.20 + 0.40 ) \times 30}{2} = \frac{0.60 \times 30}{2} = 9.0 N \cdot s$

② 速さ。 静止から始まるので

$v = \frac{I}{m} = \frac{9.0}{0.50} = 18 m/s$

まとめ 立ち上がり・維持・立ち下がりのある現実的な力(機械のプレス、ロケットの噴射)は台形で近似できる。三角形(b04)・長方形(b02)・台形と、どの形でも「面積=力積」の一本槍で通せることを確認しておこう。

答

(1) $9.0 N \cdot s$ (2) $18 m/s$

別解

区間ごとに分けて足すルート。 3 つの区間の力積を別々に出す。立ち上がり(三角形): $\frac{1}{2} \times 0.10 \times 30 = 1.5$ 。維持(長方形): $30 \times 0.20 = 6.0$ 。立ち下がり(三角形): $1.5$ 。

$I = 1.5 + 6.0 + 1.5 = 9.0 N \cdot s$

台形公式と一致する。複雑な形のグラフは「知っている形に分割して足す」——面積計算の常套手段がそのまま物理で使える。

ポイント

台形の面積=(上底+下底)×高さ÷2
分割して足しても同じ
v=I/m(静止スタート)

よくある間違い

30×0.40 と長方形で計算する
上底と下底の取り違え(0.20 と 0.40)
最後に m で割るのを忘れて 18 を出せない