物理 / 運動量と力積

反発係数とはね返る高さ

★ 基礎反発係数落体

問題

ボールを高さ $1.25 m$ から静かに落としたところ、床ではね返って高さ $h^{'}$ まで上がった。床との反発係数を $0.80$ とするとき、 $h^{'}$ を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

1.25 m から落とし、e=0.80 ではね返る。どこまで上がるか

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高さと速さの関係(v=√(2gh))を思い出そう。はね返りで速さが e 倍になると、上がれる高さは何倍になるか。2 乗の関係が鍵になる。

解答・解説

速さは e 倍、高さは速さの 2 乗に比例するので h'=e²h。0.64×1.25=0.80 m。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 落下・上昇と衝突を分けて考える。床に着く直前の速さを $v$ とすると、はね返り直後は $e v$ 。上がれる高さは速さの 2 乗に比例する( $h = \frac{v ^{2}}{2 g}$ )から、高さは $e^{2}$ 倍になるはずだ。

① 式で確かめる。 落下: $v = 2 g h$ 。はね返り直後: $v^{'} = e v$ 。上がる高さ:

$h^{'} = \frac{( e v ) ^{2}}{2 g} = e^{2} \cdot \frac{v ^{2}}{2 g} = e^{2} h$

公式はね返る高さ

h^{'} = e^{2} h

② 代入する。

$h^{'} = 0.8 0^{2} \times 1.25 = 0.64 \times 1.25 = 0.80 m$

まとめ 「速さは $e$ 倍、高さ(とエネルギー)は $e^{2}$ 倍」。逆に、落とした高さとはね返った高さを測れば $e = h^{'} / h$ で反発係数が実測できる(s09)。ボールの弾み具合の試験は、実際この方法で行われている。

答

$h^{'} = 0.80 m$

数値で刻んで確かめるルート。 落下: $v = 2 \times 9.8 \times 1.25 = 24.5 = 4.95 m/s$ 。はね返り直後: $0.80 \times 4.95 = 3.96 m/s$ 。上がる高さ:

$h^{'} = \frac{3.9 6 ^{2}}{2 \times 9.8} = \frac{15.7}{19.6} = 0.80 m$

途中の速さを実際に出しても同じ答えに着く。 $h^{'} = e^{2} h$ は、この 3 手をまとめた省略形だとわかる。