物理 / 運動量と力積

運動量保存(合体)

★ 基礎運動量保存則合体

問題

なめらかな水平面上を速さ $3.0 m/s$ で進む質量 $4.0 kg$ の物体が、静止している質量 $2.0 kg$ の物体に衝突し、一体となって進んだ。一体となった後の速さを求めよ。

衝突して一体化。運動量の合計 12 kg·m/s は変わらない

ヒントを見る

衝突の前後で、2 つの物体を「ひとつの系」として見る。系の外から水平方向の力がはたらかないとき、系全体のある量が保存される——その量で式を立てる。

解答・解説

外力(の水平成分)がないので運動量保存則が使える。前の合計 4.0×3.0 が、後の合計 6.0×v に等しい。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 衝突のとき 2 物体は互いに大きな力を及ぼし合うが、それは作用・反作用の内力であり、系全体の運動量を変えない。外力(の水平成分)がなければ、運動量の合計は衝突の前後で保存する。

定理運動量保存則: 外力がはたらかないとき

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

① 保存の式を立てる。 合体後の速さを $v$ とすると

$4.0 \times 3.0 + 2.0 \times 0 = (4.0 + 2.0) v$

② 解く。

$v = \frac{12}{6.0} = 2.0 m/s$

まとめ 合体(完全非弾性衝突)は「後の速度が共通」になる特別な場合で、保存則 1 本で解ける。運動エネルギーは保存しない(前 $18 J$ → 後 $12 J$ 、差は変形や熱に消える)ことにも注意。保存するのは運動量、失われ得るのはエネルギー——この非対称が単元の肝である。

答

$2.0 m/s$

「質量が増えた分だけ遅くなる」比のルート。 動いている質量が $4.0 kg$ から $6.0 kg$ に増えた。運動量 $m v$ が同じなら、速さは質量の逆比で

$v = 3.0 \times \frac{4.0}{6.0} = 2.0 m/s$

「勢いはそのまま、担ぎ手が増えたぶん遅くなる」という読み方は、貨車の連結(s12)でもそのまま使える。