物理 / 運動量と力積

くり返すバウンドの高さ

★★ 標準反発係数落体

問題

ボールを高さ $4.9 m$ から静かに落とす。床との反発係数を $0.50$ とする。(1) 床に着く直前の速さ (2) 1 回目のバウンドで上がる高さ (3) 2 回目のバウンドで上がる高さをそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

バウンドごとに高さは e²=0.25 倍(図の高さは比率どおり)

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b12 の「高さは e² 倍」をくり返し使う。1 回目で e² 倍、2 回目でさらに e² 倍。等比数列の形が見えてくる。

解答・解説

v=√(2gh)=9.8 m/s。高さは 1 バウンドごとに e²=0.25 倍になるので、4.9→1.225→0.306 m。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 バウンドのたびに速さは $e$ 倍、高さは $e^{2}$ 倍(b12)。これがくり返されるから、高さは公比 $e^{2}$ の等比数列で減っていく。

① 着地直前の速さ。

$v = 2 g h = 2 \times 9.8 \times 4.9 = 96.04 = 9.8 m/s$

② 1 回目の高さ。 $e^{2} = 0.25$ 倍で

$h_{1} = 0.25 \times 4.9 = 1.225 \approx 1.2 m$

③ 2 回目の高さ。 さらに $0.25$ 倍で

$h_{2} = 0.25 \times 1.225 = 0.30625 \approx 0.31 m$

まとめ $n$ 回目の高さは $h_{n} = e^{2 n} h$ 。 $e = 0.50$ では 1 バウンドごとに高さが $\frac{1}{4}$ になり、急速に弾まなくなる。この等比構造は、全バウンドの合計時間(a06)や合計距離を無限等比級数で求める応用につながる。

答

(1) $9.8 m/s$ (2) $1.2 m$ ( $1.225 m$ ) (3) 約 $0.31 m$ ( $0.30625 m$ )

速さの系列で追うルート。 着地速さの列は $9.8 \to 4.9 \to 2.45 m/s$ ( $e$ 倍ずつ)。それぞれの上がる高さは $\frac{v ^{2}}{2 g}$ で

$\frac{4. 9 ^{2}}{19.6} = 1.225, \frac{2.4 5 ^{2}}{19.6} = 0.30625 m$

「速さで $e$ 倍」と「高さで $e^{2}$ 倍」を行き来できると、どちらを問われても即応できる。