物理 / 運動量と力積

ばねで打ち出される 2 物体

★★ 標準運動量保存則分裂エネルギー

問題

なめらかな水平面上で、質量 $1.0 kg$ の物体 A と質量 $4.0 kg$ の物体 B の間に軽いばねをはさんで押し縮め、静かに放した。ばねに蓄えられていた弾性エネルギーは $10 J$ で、すべて 2 物体の運動エネルギーになった。放された後の A、B の速さをそれぞれ求めよ。

ばねを放すと 2 物体は逆向きに飛ぶ。合計運動量は 0 のまま

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b10 の分裂と同じく合計運動量は 0。それだけでは速さが決まらないが、今回はエネルギーの情報が追加されている。運動量の関係で 1 文字にしてからエネルギーの式へ代入しよう。

解答・解説

運動量保存(合計 0)から vA=4vB(逆向き)。エネルギーの式 ½·1.0·vA²+½·4.0·vB²=10 に代入して解く。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばねの押し出しも「分裂」の一種で、運動量の合計 0 は保たれる。ただし今回は速さを決めるためにエネルギーの情報が与えられている。保存則で文字を減らし、エネルギーの式で確定させる 2 段構えである。

① 運動量保存。 A の向きを正として

$0 = 1.0 v_{A} - 4.0 v_{B} ⟹ v_{A} = 4 v_{B}$

② エネルギーの式。

$\frac{1}{2} \times 1.0 \times v_{A}^{2} + \frac{1}{2} \times 4.0 \times v_{B}^{2} = 10$

$v_{A} = 4 v_{B}$ を代入して

$8 v_{B}^{2} + 2 v_{B}^{2} = 10 ⟹ v_{B}^{2} = 1.0 ⟹ v_{B} = 1.0, v_{A} = 4.0 m/s$

まとめ 軽い A のほうが速く飛び( $4 : 1$ =質量の逆比)、エネルギーの配分も A に $8.0 J$ 、B に $2.0 J$ と軽いほうが多く持っていく。ロケットが燃料ガスを高速で後ろに吹き出す(軽いガスに大きな速さとエネルギーを与える)構図の卓上版である。

答

A: $4.0 m/s$ 、B: $1.0 m/s$ (互いに逆向き)

エネルギー配分の公式で確かめるルート(得意な人向け)。 合計 0 の分裂では、エネルギーは質量の逆比で配分される( $E_{A} : E_{B} = m_{B} : m_{A} = 4 : 1$ )。

$E_{A} = 10 \times \frac{4}{5} = 8.0 J ⟹ v_{A} = \frac{2 \times 8.0}{1.0} = 4.0 m/s$

$E_{B} = 2.0 J ⟹ v_{B} = \frac{2 \times 2.0}{4.0} = 1.0 m/s$

「同じ運動量なら、軽いほうがエネルギーを多く持つ」( $E = p^{2} /2 m$ )——この関係は原子物理の崩壊でも使う普遍の道具である。