物理 / 運動量と力積

重い球は大きく曲がれない(散乱角の限界)

最難関編弾性衝突重心平面内の衝突

問題

なめらかな水平面上を、質量 $2 m$ の球Aが速さ $v_{0}$ で進み、静止している質量 $m$ の球Bに衝突した。衝突は弾性衝突だが、正面衝突とは限らず、衝突後の 2 球は同一平面内でそれぞれの向きに進む。

(1) 2 球の重心の速度の大きさ $V$ を求めよ。

(2) 重心とともに動く立場から見ると、Aの速さは衝突の前後で変わらない。その速さ $u$ を求めよ。

(3) 衝突後のAの進む向きが、衝突前の向きとなす角を $θ$ とする。 $θ$ のとりうる最大値を求めよ。

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実験室の立場のままでは、衝突後の 2 つの速度に未知数が多すぎて手がつかない。速度を足し引きして、見る立場を変えられないか。乗り換えた先で「速さが変わらない」なら、速度ベクトルの先端はどんな図形の上にあるか。

解答・解説

方針

平面内の衝突を実験室の立場で追うと未知数が多すぎる。重心とともに動く立場に乗り換えると、Aは速さを変えずに向きだけ変える。実験室の立場に戻すときに重心の速度を足すので、Aの速度の先端は円をえがく。この円が原点を含むかどうかで、曲がれる角度に上限が出るかどうかが決まる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 斜めの衝突は、運動量保存が 2 本、エネルギー保存が 1 本の計 3 本に対して未知数が 4 つある。だから 1 つ自由度が残り、答えは「範囲」になる。この構造に気づくのが出発点である。

範囲を扱うなら、自由度を 1 つの角度に押し込みたい。そこで重心とともに動く立場に乗り換える。この立場では弾性衝突は「速さそのまま、向きだけ自由に変わる」という、たった 1 つの角度の話になる。

あとは実験室の立場に戻すだけである。戻すときに一定のベクトルを足すので、速度の先端は円の上を動く。

① 重心の速度。 重心の速度は、全運動量を全質量で割ったものである。

公式重心の速度

V = \frac{m _{1} v _{1} + m _{2} v _{2}}{m _{1} + m _{2}}

$V = \frac{2 m \cdot v _{0} + m \cdot 0}{2 m + m} = \frac{2}{3} v_{0}$

外力がはたらかないので、この速度は衝突の前後で変わらない。

② 重心とともに動く立場でのAの速さ。 この立場では、衝突前のAの速度は

$u = v_{0} - V = v_{0} - \frac{2}{3} v_{0} = \frac{1}{3} v_{0}$

この立場では全運動量が $0$ である。弾性衝突ならエネルギーも保存するので、2 球の速さはそれぞれ衝突の前後で変わらない。向きだけが変わる。

③ 実験室の立場に戻す。 衝突後のAの速度は「 $V$ (もとの進行方向)+ 大きさ $u$ の任意の向きのベクトル」である。

つまり、衝突後のAの速度ベクトルの先端は、 $V$ の先端を中心とする半径 $u$ の円の上にある。

衝突後の A の速度の先端は、V の先端を中心とする半径 u の円上にある。接線のときが最大の角。

ここで $u$ と $V$ を比べる。

$u = \frac{v _{0}}{3} < V = \frac{2 v _{0}}{3}$

半径のほうが中心までの距離より小さいので、この円は原点を含まない。したがってAの速度は、ある角度より外を向くことができない。

④ 最大の角。 原点から円に引いた接線が、角の最大を与える。接点で半径と接線は垂直だから、直角三角形ができる。

$sin θ_{m a x} = \frac{u}{V} = \frac{v _{0} /3}{2 v _{0} /3} = \frac{1}{2}$

$θ_{m a x} = 3 0^{\circ}$

まとめ 自分より軽い相手にぶつかっても、進む向きは限られた角度までしか曲がらない。上限は $sin θ_{m a x} = \frac{m _{2}}{m _{1}}$ で、相手が軽いほど曲がれない。逆に相手のほうが重ければ半径が中心までの距離を上回り、円が原点を囲むので、真後ろにはね返ることもできる。

発展 — 一歩先へ。 この「速度の先端が円をえがく」図は、粒子の散乱を扱うときの基本の絵である。ラザフォードがアルファ粒子を金箔に当てたとき、大きな角度ではね返る粒子が観測された。もし原子の中身が軽い電荷の霧なら、いま見たとおり大きな角度には曲がれない。曲がったという事実そのものが「原子の中心に重いかたまりがある」ことの証拠になった。

答

$V = \frac{2 v _{0}}{3}$ 、 $u = \frac{v _{0}}{3}$ 、 $θ$ の最大値は $3 0^{\circ}$

別解

成分の連立で押し切るルート。 立場を変えずに、実験室の立場のまま計算することもできる。

衝突後のAの速さを $v_{1}$ 、角を $θ$ 、Bの速さを $v_{2}$ 、角を $ϕ$ とすると、運動量とエネルギーの保存は次の 3 本である。

$2 m v_{0} = 2 m v_{1} cos θ + m v_{2} cos ϕ$

$0 = 2 m v_{1} sin θ - m v_{2} sin ϕ$

$\frac{1}{2} (2 m) v_{0}^{2} = \frac{1}{2} (2 m) v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m v_{2}^{2}$

$ϕ$ を消去すると、 $v_{1}$ についての 2 次方程式が残る。

$3 v_{1}^{2} - 4 v_{0} cos θ v_{1} + v_{0}^{2} = 0$

$v_{1}$ は実数でなければならないから、判別式が $0$ 以上である。

$16 v_{0}^{2} cos^{2} θ - 12 v_{0}^{2} \geq 0 ⟹ cos^{2} θ \geq \frac{3}{4}$

$cos θ \geq \frac{3}{2} ⟹ θ \leq 3 0^{\circ}$

同じ答えが出る。計算量は増えるが、「角度に上限が出るのは判別式のせい」という代数の顔が見える。重心の立場では同じことが「円が原点を含むかどうか」という幾何の顔をしていたわけである。

ポイント

斜めの弾性衝突は式が 3 本・未知数が 4 つ。答えは範囲になる
重心とともに動く立場では速さ不変・向きだけが変わる
自分より軽い相手には sinθ=m₂/m₁ より大きくは曲がれない

よくある間違い

斜めの衝突でも正面衝突の公式を使ってしまう
重心の速度を「2 球の速度の平均」としてしまう(質量で重みをつける)
「軽い相手なのだから大きく曲がるはず」と直感で決める(逆である)