ばね付き台車への衝突(エネルギーの行方)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばね越しの衝突は「スローモーションの弾性衝突」である。最も縮んだ瞬間=相対速度が 0=2 物体が同じ速度という読み替えができれば、あとは保存則の出番。ばねは蓄えたエネルギーを全部返すから、離れた後は弾性衝突の結果と一致する。

① 最も縮んだ瞬間の速さ。 共通速度を $v_c$ として運動量保存:

$$2.0\times 4.0=(2.0+2.0)v_c⟹v_c=2.0m/s$$

② ばねのエネルギー。 エネルギー保存(ばねに移った分が差額):

$$E_{ばね}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 4.0^2-\frac{1}{2}\times 4.0\times 2.0^2=16-8.0=8.0\mathrm{J}$$

③ 離れた後。 ばねが $8.0\mathrm{J}$ を返すので全体は弾性衝突と同じ。等質量だから速度交換:

$$A:0,B:4.0m/s$$

まとめ 「合体したときの KE(①②の状態)」は瞬間的に実現しては元に戻る——合体の損失エネルギーの正体は、ばねなら返してもらえる預け金である。ばねを硬い粘土に変えると預け金は返らず(熱になる)、合体で終わる。弾性・非弾性の違いが、この 1 つの装置で統一的に見える。

別解

相対運動のエネルギーで見るルート(得意な人向け)。 ばねに蓄えられる最大エネルギーは「相対運動のエネルギー」

$$E=\frac{1}{2}\mu v_{rel}^2=\frac{1}{2}\times \frac{2.0\times 2.0}{4.0}\times 4.0^2=8.0\mathrm{J}$$

($\mu$ は換算質量 $\frac{m_A{m}_B}{m_A+m_B}=1.0\mathrm{kg}$)。重心運動のエネルギー $\frac{1}{2}\times 4.0\times 2.0^2=8.0\mathrm{J}$ は決して奪えない——衝突で賭けられるのは相対運動の分だけという原理の、最も見やすい実例である。