等質量の弾性衝突(速度交換)

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 弾性衝突は $e=1$ の衝突である。保存則と反発係数の連立に $e=1$ を入れると、等質量の場合に速度交換という特別な現象が現れる。

① 連立を解く。

$$v_A^{\prime }+v_B^{\prime }=5.0,v_B^{\prime }-v_A^{\prime }=1\times 5.0=5.0$$

足して $v_B^{\prime }=5.0$、引いて $v_A^{\prime }=0$。A はその場に止まり、B が $5.0m/s$ で飛び出す。

② 運動エネルギーの確認。

$$前:\frac{1}{2}m\times 5.0^2=12.5m,後:\frac{1}{2}m\times 0^2+\frac{1}{2}m\times 5.0^2=12.5m$$

確かに保存している($e=1$ の衝突だけがエネルギーを失わない)。

まとめビリヤードで手玉がピタリと止まり的玉が飛び出すあの現象は、等質量+ほぼ弾性という条件の産物である。ニュートンのゆりかご(カチカチ玉)で端の 1 球だけが飛び出すのも同じ理屈。「等質量の弾性衝突=速度の完全な交換」は、結果として覚えてよい。

別解

保存則 2 本で解くルート。 e を使わず、運動量保存と運動エネルギー保存の 2 本を連立してもよい。

$$v_A^{\prime }+v_B^{\prime }=5.0,v_A^{\prime 2}+v_B^{\prime 2}=25$$

第 1 式を第 2 式に代入して整理すると $2v_A^{\prime 2}-10v_A^{\prime }=0$、すなわち $v_A^{\prime }(v_A^{\prime }-5.0)=0$ となり、$v_A^{\prime }=0$(衝突あり)または $v_A^{\prime }=5.0$(すり抜け=衝突なし)。物理的な解は $v_A^{\prime }=0$。エネルギー保存を使うと 2 次方程式になり、「衝突しなかった」解が混ざる。e の式(1 次)のほうが便利だと分かる比較である。