なめらかな2球の斜めの衝突

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面の衝突は難しく見えるが、力がどの向きにはたらくか を先に決めると、1次元の問題2つに分かれる。

球の表面がなめらかなら、接触点で滑る向き(接線方向)には力を出せない。2球が及ぼしあう力は中心線の向きだけである。

すると接線方向には力積が0なので、その成分の速度は変わらない。中心線方向だけが、いつもの1次元の衝突になる。なめらかな壁への斜めの衝突で「壁に平行な成分は不変、垂直な成分だけが $e$ 倍」としたのと同じ構造で、壁が相手の球に変わっただけである。

① 接線成分が変わらない理由。 なめらかな球どうしなので、接触点で及ぼしあえる力は接触面に垂直な向き、すなわち中心線の向きだけである。接線方向には力がはたらかないから力積も0で、その成分の運動量は変わらない。

② 分解。 中心線方向と接線方向に分けると

$$v_0\cos \theta =5.0\times 0.80=4.0m/s,v_0\sin \theta =5.0\times 0.60=3.0m/s$$

③ 衝突直後。 中心線方向は、質量の等しい2球の1次元衝突である。運動量保存と反発係数の式を連立すると、静止した相手にぶつかる場合は

$$v_A=\frac{(1-e)u}{2},v_B=\frac{(1+e)u}{2}$$

$u=4.0$、$e=0.50$ を入れて

$$v_A=\frac{0.50\times 4.0}{2}=1.0m/s,v_B=\frac{1.50\times 4.0}{2}=3.0m/s$$

接線方向は A が $3.0m/s$ のまま、B は $0$ のままである。まとめると

• A … 中心線方向 $1.0$、接線方向 $3.0$。速さは $\sqrt{1.0^2+3.0^2}=\sqrt{10}\fallingdotseq 3.2m/s$
• B … 中心線方向 $3.0$ のみ。速さ $3.0m/s$

B は必ず中心線の向きに動き出す。ビリヤードで的球が「2球の中心を結んだ向き」へ走るのは、このためである。

④ 失われた運動エネルギー。 衝突前は

$$\frac{1}{2}\times 0.20\times 5.0^2=2.5\mathrm{J}$$

衝突後は

$$\frac{1}{2}\times 0.20\times 10+\frac{1}{2}\times 0.20\times 9=1.0+0.9=1.9\mathrm{J}$$

差をとって $0.60\mathrm{J}$ が失われた。

まとめ 分解の基準を「進む向き」ではなく「力の向き」にとる。それだけで平面の衝突が1次元の衝突に化ける。接線方向は最初から計算に入れなくてよい、というのがこの分解の利益である。

発展 — 一歩先へ。 $e=1$ とすると $v_A$ の中心線成分が $0$ になり、A は接線方向だけに進む。B は中心線方向に進むから、2球は必ず直角に分かれる。等質量の弾性衝突で直角になるのは、この式の $1-e$ が消えることの言い換えである。

$e<1$ では中心線成分が残るので、開く角は直角より狭くなる。ビリヤードの球の反発係数は $0.9$ を超えるので、実際にはほぼ直角に分かれて見える。

別解

失われるエネルギーを中心線方向だけで数えるルート。 接線方向の速度は衝突の前後で変わらないので、その向きの運動エネルギーも変わらない。エネルギーが失われるのは中心線方向だけ である。

そこで中心線方向の1次元衝突だけを取り出す。質量 $m_1$、$m_2$ の1次元衝突で失われるエネルギーは、換算質量 $\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$ と衝突前の相対速度 $u$ を使って

$$\Delta E=\frac{1}{2}\mu u^2(1-e^2)$$

と書ける。等質量なので $\mu =\frac{m}{2}=0.10\mathrm{kg}$、$u=4.0m/s$ で

$$\Delta E=\frac{1}{2}\times 0.10\times 16\times (1-0.25)=0.60\mathrm{J}$$

④の引き算と一致した。

接線方向をはじめから計算の外へ出せるのは、「その向きに力がない」ことの直接の帰結である。速さを求めずに損失だけを知りたいときは、こちらのほうが速い。