なめらかな壁への斜めの衝突

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 なめらかな壁は法線方向の力しか出せない(摩擦がないから平行方向には押せない)。したがって、平行成分は不変、垂直成分だけが $e$ 倍になる。斜めの衝突は、成分に分ければ 1 次元の衝突 2 つ分である。

① 衝突直後の成分。

• 平行成分: $6.0m/s$(そのまま)
• 垂直成分: $0.75\times 8.0=6.0m/s$(向きは壁から離れる向き)

② 反射の角。 法線となす角を $\theta$ とすると

$$\tan {\theta }^{\prime }=\frac{平行}{垂直}=\frac{6.0}{6.0}=1⟹{\theta }^{\prime }=45°$$

入射時は $\tan \theta =\frac{6.0}{8.0}=0.75$($\theta \approx 37°$)だったから、反射のほうが壁に沿う向きに倒れる(${\theta }^{\prime }>\theta$)。

まとめ $e=1$ のときだけ入射角=反射角(光の反射と同じ)になり、$e<1$ では必ず反射角が大きくなる。「平行は不変・垂直だけ $e$ 倍」は平面の衝突すべての出発点で、ビリヤードのクッション読みの物理でもある。ちなみに衝突後の速さは $\sqrt{6.0^2+6.0^2}=6.0\sqrt{2}=8.5m/s$。

別解

運動量とエネルギーの視点で読むルート。 壁が及ぼす力積は法線方向のみ: $\Delta p_{\perp }=m(6.0+8.0)=14m$(壁から離れる向き)、平行方向の力積は 0。

エネルギーは、平行成分の分 $\frac{1}{2}m6.0^2$ が温存され、垂直成分の分だけ $e^2=0.56$ 倍に減る。斜め衝突では「エネルギーの一部が守られる」——真正面の衝突より失うものが少ない、という見方も持っておくと融合問題で役立つ。