物理 / 運動量と力積

貨車の連結(2 段階の合体)

★★ 標準運動量保存則合体

問題

質量 $5.0 \times 1 0^{3} kg$ の貨車 A が速さ $2.0 m/s$ で走り、静止している質量 $3.0 \times 1 0^{3} kg$ の貨車 B に連結した。その後、連結した 2 台はさらに静止している質量 $2.0 \times 1 0^{3} kg$ の貨車 C に連結した。(1) A と B が連結した直後の速さ (2) 3 台が連結した後の速さを求めよ。

A→B→C と 2 段階で連結。運動量の合計は終始 1.0×10⁴ kg·m/s

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連結のたびに「動く質量」が増える。段階ごとに保存則を立ててもよいし、運動量の合計が終始変わらないことを使えば、最初と最後を直接つないでもよい。両方やって一致を確かめよう。

解答・解説

方針

連結=合体を 2 回くり返す。各段階で運動量保存。実は最初と最後だけ見れば、10⁴ kg·m/s ÷ 10⁴ kg=1.0 m/s と一発でも出る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連結は合体の連続である。運動量の合計は最初から最後まで一度も変わらないから、段階ごとに解いても、最初と最後を直結してもよい。両方の道を見比べる。

① A+B の連結。

$v_{1} = \frac{5.0 \times 1 0 ^{3} \times 2.0}{8.0 \times 1 0 ^{3}} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{4}}{8.0 \times 1 0 ^{3}} = 1.25 m/s$

② さらに C と連結。

$v_{2} = \frac{8.0 \times 1 0 ^{3} \times 1.25}{1.0 \times 1 0 ^{4}} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{4}}{1.0 \times 1 0 ^{4}} = 1.0 m/s$

まとめ ②の分子は①と同じ $1.0 \times 1 0^{4} kg \cdot m/s$ ——運動量は途中で一切減っていない。だから最初(A のみ $1 0^{4}$ )と最後(総質量 $1 0^{4} kg$ )を直結して $v = 1.0 m/s$ と一発で出してもよい。「保存量は途中経過を省略できる」——保存則の実務上の最大の御利益である。

答

(1) $1.25 m/s$ (2) $1.0 m/s$

別解

一発ルート。 最初の運動量 $5.0 \times 1 0^{3} \times 2.0 = 1.0 \times 1 0^{4} kg \cdot m/s$ が、最終的に総質量 $(5.0 + 3.0 + 2.0) \times 1 0^{3} = 1.0 \times 1 0^{4} kg$ に分配されるだけだから

$v_{2} = \frac{1.0 \times 1 0 ^{4}}{1.0 \times 1 0 ^{4}} = 1.0 m/s$

(1) を飛ばして (2) が出る。段階を追う方法との一致が、保存則の「経路によらない」性質の何よりの証拠である。

ポイント

連結=合体のくり返し
運動量は終始不変(途中を省略できる)
段階解と一発解の一致で検算

よくある間違い

2 回目の保存則で分母を 5.0+2.0×10³ にする
速さが単純に 2 回半分になるとする
10³ の桁処理を落とす