物理 / 運動量と力積

F-t グラフから力積と速さを読む

★ 基礎力積F-tグラフ

問題

静止していた質量 $0.50 kg$ の物体に、図のように時間変化する力を加えた。力は $0.10$ 秒で最大 $40 N$ まで直線的に増え、その後 $0.10$ 秒で直線的に $0$ に戻った。(1) 物体が受けた力積 (2) 力を加え終えたときの物体の速さをそれぞれ求めよ。

三角形の F-t グラフ。面積 ½×0.20×40 が力積

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力が一定でないときは I=Ft が使えない。かわりに、F-t グラフの下の面積が力積になる。図の形は三角形——面積の公式で一発だ。

解答・解説

変化する力の力積は F-t グラフの面積。三角形の面積 ½×0.20×40=4.0 N·s。速さは I=mv'−0 から。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 力が刻々変わるときの力積は、F-t グラフの下の面積で求める(一定の力の長方形の一般化)。図は底辺 $0.20$ 秒、高さ $40 N$ の三角形である。

① 力積(面積)。

$I = \frac{1}{2} \times 0.20 \times 40 = 4.0 N \cdot s$

② 加え終えたときの速さ。 静止から始まるので $I = m v^{'} - 0$ より

$v^{'} = \frac{I}{m} = \frac{4.0}{0.50} = 8.0 m/s$

まとめ バットやラケットの打撃はまさにこの形(瞬間的に立ち上がって戻る力)で、山の面積さえわかれば途中の詳細は不要。「平均の力」で言い換えると $\overset{ˉ}{F} = \frac{4.0}{0.20} = 20 N$ 、最大値のちょうど半分になっている(三角形だから)。

答

(1) $4.0 N \cdot s$ (2) $8.0 m/s$

平均の力で置き換えるルート。 三角形の力は、平均すると最大値の半分 $20 N$ が $0.20$ 秒続いたのと同じ。

$I = 20 \times 0.20 = 4.0 N \cdot s$

「複雑な力→同じ面積の平均の力」という置き換えは、グラフが台形や曲線でも通用する実戦的な見方である。