ゆりかごの球はなぜ1個だけ飛ぶのか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「1個当てたら1個飛ぶ」は当たり前に見えて、実は当たり前ではない。運動量だけを見れば「2個が半分の速さで」でもつじつまは合うからである。

決め手になるのは、弾性衝突ではもう1つ、運動エネルギーも保存するという条件である。運動量とエネルギーの2本を同時に満たす飛び出し方は1つしかない。 これを示すのがこの問題の中身である。

未知数を「飛び出す個数」と「その速さ」の2つにとり、保存則2本で連立する、という形にもちこむ。

① 1個が速さ $v$ で飛び出す場合。

$$p=mv=0.10\times 2.0=0.20\mathrm{kg}\cdot m/s$$

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}\times 0.10\times 2.0^2=0.20\mathrm{J}$$

当てた球のもっていた値とどちらも一致する。

② 2個が速さ $\frac{v}{2}$ で飛び出す場合。

$$p=2m\times \frac{v}{2}=mv=0.20\mathrm{kg}\cdot m/s$$

運動量は同じである。ところが運動エネルギーは

$$K=2\times \frac{1}{2}m{\left(\frac{v}{2}\right)}^2=\frac{m{v}^2}{4}=0.10\mathrm{J}$$

となり、はじめの $0.20\mathrm{J}$ の 半分 しかない。

弾性衝突では運動エネルギーが減らないので、この飛び出し方は起こらない。エネルギーの残り半分が消えてしまうからである。

③ 2個を当てたとき。 ①②と同じ検討をすればよい。当てた側の運動量は $2mv$、運動エネルギーは $2\times \frac{1}{2}m{v}^2=m{v}^2$ である。

2個が速さ $v$ で飛び出せば、運動量 $2mv$、運動エネルギー $m{v}^2$ でどちらも合う。よって 2個が速さ $2.0m/s$ で飛び出す。

④ 一般の場合。 $k$ 個を速さ $v$ で当て、$j$ 個が速さ $u$ で飛び出すとする。2本の保存則は

$$jmu=kmv,\frac{1}{2}jm{u}^2=\frac{1}{2}km{v}^2$$

第1式より $ju=kv$、第2式より $j{u}^2=k{v}^2$。第2式を第1式で割ると

$$u=v$$

これを第1式に戻して $j=k$。当てた個数と同じ数だけが、同じ速さで飛び出す。 候補は1つしかない。

まとめ 保存則が2本あることが効いている。運動量だけなら答えは無数にあるが、エネルギーを重ねると一意に決まる。「1個当てたら1個」は、2本の式を割り算した結果である。

発展 — 一歩先へ。 ④の論法は「飛び出す球がすべて同じ速さ」という前提を置いている。本当は、球ごとに速さが違う場合まで含めて考える必要がある。その場合も、運動量とエネルギーを同時に満たす解は「当てた側と同じ組」しかないことが示せる。

実際のゆりかごでは球がわずかに離れていたり、金属が完全な弾性体ではなかったりするため、数回往復すると全部の球が少しずつ揺れ始める。理想の話がきれいに成り立つのは最初の数回だけである。

別解

2個の弾性衝突を順に追っていくルート。 保存則の連立を使わず、隣どうしの衝突を1回ずつ追っても同じ結論に達する。

等質量の弾性衝突では、2つの球は 速度を交換する。これは1次元の弾性衝突の式に $m_1=m_2$ を入れれば出る。

そこで1個目が2個目に当たると、1個目が止まり2個目が $v$ で動く。2個目は3個目に当たって止まり、3個目が $v$ で動く。これが端まで伝わり、最後の球だけが $v$ で飛び出す。

途中の球は「一瞬だけ $v$ で動いてすぐ止まる」ので、外から見ると動いていないように見える。動きではなく、速度が列を伝わっていく と読むほうが実際に近い。

この見方だと ③ も自然に分かる。2個で当てれば、速度の交換が2つぶん伝わって反対端の2個が動き出す。連立を解くルートが「なぜそれしかないか」を示すのに対し、こちらは「どのように起こるか」を示している。