交差点の衝突から衝突前の速さを読む

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面の衝突でも、やることは1次元と変わらない。運動量はベクトルなので、直交する2つの向きに分けてそれぞれ保存させる だけである。

東向きと北向きに分ければ、A の運動量は東向きだけ、B の運動量は北向きだけをもつ。衝突後は一体になるので、合成した運動量を全質量で割れば速度が出る。

エネルギーは保存しない。合体する衝突では必ず失われるので、前と後を別々に計算して引き算する。

① 衝突直後の速さ。 成分ごとに運動量を書く。

$$p_{\text{東}}=1500\times 16=2.4\times 10^4\mathrm{kg}\cdot m/s$$

$$p_{\text{北}}=1000\times 32=3.2\times 10^4\mathrm{kg}\cdot m/s$$

合成した大きさは三平方より

$$p=\sqrt{(2.4\times 10^4{)}^2+(3.2\times 10^4{)}^2}=4.0\times 10^4\mathrm{kg}\cdot m/s$$

($3:4:5$ の直角三角形になっている。)一体の質量は $2500\mathrm{kg}$ だから

$$v=\frac{4.0\times 10^4}{2500}=16m/s$$

② 向き。

$$\tan \alpha =\frac{p_{\text{北}}}{p_{\text{東}}}=\frac{3.2\times 10^4}{2.4\times 10^4}=\frac{4}{3}$$

東の向きから北へ約 $53^{\circ }$ 傾いた向きである。

③ 失われた運動エネルギー。 衝突前は

$$\frac{1}{2}\times 1500\times 16^2+\frac{1}{2}\times 1000\times 32^2=1.92\times 10^5+5.12\times 10^5=7.04\times 10^5\mathrm{J}$$

衝突後は

$$\frac{1}{2}\times 2500\times 16^2=3.20\times 10^5\mathrm{J}$$

差をとって

$$7.04\times 10^5-3.20\times 10^5=3.84\times 10^5\mathrm{J}$$

もとの $55\%$ ほどが失われた。この分が車体の変形や音になる。

④ 滑り跡から分かること。 ②の式を見ると、向きを決めているのは 2台の運動量の比だけ である。

$$\tan \alpha =\frac{m_B{v}_B}{m_A{v}_A}$$

だから滑り跡の向きが分かれば、$m_A{v}_A:m_B{v}_B$ が読める。ここでは $3:4$ である。車の質量は車種から分かるので、衝突前の速さの比 $v_A:v_B$ が決まる。

さらに滑り跡の長さと路面の摩擦係数から衝突直後の速さが出るので、そこに①の関係を使えば、衝突前のそれぞれの速さまで逆算できる。速度計が壊れていても、路面が記録を残している。

まとめ 平面の衝突は、直交する2方向へ分けて別々に保存させる。向きは運動量の比だけで決まるので、逆にたどれば衝突前の情報が引き出せる。エネルギーの引き算は保存しないぶんを測る道具で、保存則とは役割が違う。

発展 — 一歩先へ。 ③で失われたエネルギーは、合体する衝突として最大の量である。運動量が決まっているとき、これ以上は失えない。逆に言えば、車体がつぶれて吸収できるエネルギーの上限が、この計算で決まる。

自動車の車体前部がわざとつぶれるように設計されている(クラッシャブルゾーン)のは、この $3.84\times 10^5\mathrm{J}$ をできるだけ長い時間と距離をかけて吸収し、乗員が受ける力を小さくするためである。力積が同じでも時間を伸ばせば力は小さくなる、というエアバッグと同じ考えが車体の骨格そのものに組み込まれている。

別解

衝突後の向きを先に決めてしまうルート。 成分をていねいに計算しなくても、比だけで向きが出る。

一体になった車が進む向きは、2つの運動量ベクトルの和の向きである。和のベクトルは、$p_{\text{東}}$ と $p_{\text{北}}$ を2辺とする長方形の対角線だから、傾きはそのまま

$$\frac{p_{\text{北}}}{p_{\text{東}}}=\frac{1000\times 32}{1500\times 16}=\frac{32000}{24000}=\frac{4}{3}$$

$3:4$ と分かった時点で、合成の大きさは $5$ の側、つまり

$$p=\frac{5}{3}\times 2.4\times 10^4=4.0\times 10^4$$

と、三平方を計算せずに書ける。$3:4:5$ に気づけば筆算が要らない。

さらに速さも、$p$ を割る前に見当がつく。A の運動量 $2.4\times 10^4$ を質量 $2500$ で割ると $9.6$、B のぶんが $12.8$、この2つを3辺の比で合成して $16$。比で押し切れば、大きな数の二乗と平方根を1度も書かずに済む。