ベルトコンベアに砂を落とす

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 落ちた砂は速さ $0$ から $v$ になる。この変化を起こすには力積が要る。

砂は連続して落ち続けるので、1回ぶんではなく 1秒ぶん を切り出して数える。1秒間に $q$ だけの質量が $0$ から $v$ になるのだから、1秒あたりの運動量の変化は $qv$、これが要る力である。

ここまでは素直だが、この問題の山場は後半にある。力と速さからモーターの仕事率を出し、砂が得る運動エネルギーと比べると ぴったり半分 しか届かない。差がどこへ消えたのかを説明できるかが問われている。

① 必要な力。 1秒間に $q=2.0\mathrm{kg}$ の砂が、速さ $0$ から $3.0m/s$ になる。1秒あたりの運動量の変化は

$$qv=2.0\times 3.0=6.0\mathrm{kg}\cdot m/s$$

砂を加速するのは、砂とベルトのあいだの摩擦力である。その反作用がベルトを後ろへ引くので、ベルトの速さを保つにはモーターが

$$F=qv=6.0\mathrm{N}$$

の力で押し続けなければならない。

② モーターの仕事率。 ベルトは速さ $v$ で動いているから

$$P=Fv=6.0\times 3.0=18\mathrm{W}$$

③ 砂が得る運動エネルギー。 1秒間に $2.0\mathrm{kg}$ の砂が速さ $3.0m/s$ になるので

$$\frac{1}{2}q{v}^2=\frac{1}{2}\times 2.0\times 3.0^2=9.0\mathrm{W}$$

④ 差はどこへ行ったか。 モーターは $18\mathrm{W}$ を供給しているのに、砂の運動エネルギーは $9.0\mathrm{W}$ しか増えていない。

残りの $9.0\mathrm{W}$ は、砂とベルトが滑るあいだに生じる摩擦熱 になっている。

なぜちょうど半分になるのかを見ておく。砂が速さ $0$ から $v$ になるあいだ、ベルトはずっと $v$ で動いている。同じ時間に

• ベルトが動く距離 … $v\times t$
• 砂が動く距離 … 平均の速さが $\frac{v}{2}$ なので $\frac{v}{2}\times t$

摩擦力 $f$ は同じ大きさで両方に逆向きにはたらくから、ベルトが失う仕事は $f\cdot vt$、砂が受け取る仕事は $f\cdot \frac{v}{2}t$。差の $f\cdot \frac{v}{2}t$ が、滑った距離ぶんの摩擦熱 である。ベルトが失うぶんのちょうど半分が砂に渡り、半分が熱になる。

まとめ 力は「1秒あたりの運動量の変化」で出る。ところがエネルギーの帳簿を合わせると半分が足りない。滑っている以上、摩擦熱が出るのは避けられない。運動量の勘定とエネルギーの勘定は別々に立てる のが鉄則である。

発展 — 一歩先へ。 「必ず半分が熱になる」は、電気の世界にも同じ形で現れる。起電力 $V$ の電池でコンデンサーを空の状態から充電すると、電池がする仕事 $QV$ のうちコンデンサーに蓄えられるのは $\frac{1}{2}QV$ だけで、残りの半分は必ず抵抗で熱になる。抵抗の値によらない点まで同じである。

どちらも「速度(電位)の差があるまま押し込む」ことが原因で、差を小さく刻んで少しずつ運べば損失を減らせる。ベルトの場合なら、砂をあらかじめベルトの速さに近づけてから落とせばよい。

別解

砂1粒を追いかけるルート。 全体を1秒でまとめず、砂1粒に注目しても同じ答えが出る。

質量 $\Delta m$ の砂粒がベルトに落ちる。摩擦力 $f=\mu \Delta mg$ を受けて加速し、時間 $\tau =\frac{v}{\mu g}$ で速さ $v$ に達する。

このあいだに砂粒が進む距離は $\frac{1}{2}v\tau$、ベルトが進む距離は $v\tau$ なので、滑った距離は

$$\Delta s=v\tau -\frac{1}{2}v\tau =\frac{1}{2}v\tau$$

摩擦熱は「摩擦力×滑った距離」だから

$$Q=f\cdot \frac{1}{2}v\tau =\mu \Delta mg\cdot \frac{1}{2}v\cdot \frac{v}{\mu g}=\frac{1}{2}\Delta m{v}^2$$

砂粒が得た運動エネルギー $\frac{1}{2}\Delta m{v}^2$ と等しい。$\mu$ が約分で消える ので、床がざらざらでもつるつるでも熱の量は同じである。つるつるなら長く滑り、ざらざらなら短く滑るが、その積は変わらない。

この見方だと「なぜ半分か」が、滑った距離が加速に使った距離の半分であることに帰着する。全体を1秒でまとめるルートが速いのに対し、こちらは $\mu$ によらない理由まで見せてくれる。