ばねで結ばれた 2 球(重心の等速運動と振動の分離)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 2 球が同時に動き、ばねの長さも変わる。まともに追うと連立微分方程式になってしまう。

しかしばねの力は内力である。だから全運動量は一定で、重心はずっと等速で動く。

そこで運動を 2 つに分ける。重心の等速運動と、重心から見た伸び縮みである。後者だけがばねの振動で、しかも 1 次元の話になる。この分離が最大の一手である。

① 重心の速度。 全運動量は $m{v}_0$、全質量は $2m$ だから

$$V=\frac{m{v}_0}{2m}=\frac{v_0}{2}=1.0m/s$$

力積を与えたあとは外力がないので、この速度は変わらない。

② 伸びが最大になる瞬間。 ばねの長さが最大になる瞬間、長さは増えも減りもしていない。つまり 2 球の速度差が $0$、すなわち2 球の速度が等しい。

速度が等しくて全運動量が $m{v}_0$ なのだから、その共通の速度は重心の速度に等しい。

$$v_A=v_B=V=1.0m/s$$

③ 最大の伸び。 力学的エネルギーの保存を、はじめと「伸びが最大の瞬間」で結ぶ。

$$\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}(2m)V^2+\frac{1}{2}k{x}^2$$

数値を入れる。左辺は $\frac{1}{2}\times 0.20\times 2.0^2=0.40\mathrm{J}$、右辺の第 1 項は $\frac{1}{2}\times 0.40\times 1.0^2=0.20\mathrm{J}$ である。

$$0.40=0.20+\frac{1}{2}\times 10\times x^2$$

$$x^2=0.040⟹x=0.20\mathrm{m}$$

はじめの運動エネルギーのうち、ちょうど半分だけがばねに預けられる。残りの半分は重心の運動として残り、これは決してばねに移らない。

④ Bの速さの最大値。 重心から見ると、2 球は重心をはさんで単振動をしている。重心から見たBの速さは、最大で $V$ である(はじめBは重心から見て $-V$ で動いていたから)。

床の立場に戻すと、Bの速度は $V$ を中心に $\pm V$ の範囲で変わる。

$$v_{B,\max }=V+V=2V=v_0=2.0m/s$$

ばねが自然長に戻った瞬間、Aは止まり、Bが $v_0$ で動く。速度がそっくり入れ替わるわけである。

まとめ 内力しかはたらかない 2 体問題は、「重心の等速運動」と「相対運動」に分けると必ず見通しがよくなる。エネルギーも同じように 2 つに分かれ、重心の分はばねに預けられない。

別解

振動の周期まで求める、換算質量のルート。 重心から見た運動を、伸び $x$(自然長からのずれ)を変数にして書いてみる。

Aの運動方程式は $m{\ddot{x}}_A=-kx$、Bは $m{\ddot{x}}_B=+kx$ である。伸びは $x=x_B-x_A$ の形で書けるから、辺々を引くと

$$\ddot{x}=-\frac{2k}{m}x$$

これは単振動の式そのものである。一般に質量 $m_1,m_2$ の 2 体では、この係数は換算質量

$$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2}$$

を使って $\ddot{x}=-\frac{k}{\mu }x$ と書ける。いまは $\mu =\frac{m}{2}=0.10\mathrm{kg}$ である。

したがって相対運動の角振動数と周期は

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{\mu }}=\sqrt{\frac{10}{0.10}}=10rad/s,T=\frac{2\pi }{\omega }=0.63\mathrm{s}$$

最大の伸びも、単振動の振幅として一発で出る。相対速度の初期値は $v_0$、中心での速さが $A\omega$ だから

$$A=\frac{v_0}{\omega }=\frac{2.0}{10}=0.20\mathrm{m}$$

エネルギー保存で解いた③と一致する。2 体のばね振動は「質量 $\mu$ の 1 個のおもりがばねについている」のと同じ、と覚えておくと速い。