平面内の弾性衝突(直角に分かれる)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平面の衝突では、運動量保存はベクトルの三角形で表せる: $\vec{p}={\vec{p}}_A^{\prime }+{\vec{p}}_B^{\prime }$。辺の長さが $5.0$、$3.0$、$4.0$(等質量なので速さがそのまま比になる)——$3:4:5$ と来れば直角である。

① 運動エネルギーの確認。

$$前:\frac{1}{2}\times 1.0\times 5.0^2=12.5\mathrm{J}$$

$$後:\frac{1}{2}\times 1.0\times 3.0^2+\frac{1}{2}\times 1.0\times 4.0^2=4.5+8.0=12.5\mathrm{J}$$

確かに保存(弾性衝突)。

② なす角。 運動量の三角形で $3.0^2+4.0^2=5.0^2$ が成り立つから、三平方の定理の逆により ${\vec{p}}_A^{\prime }$ と ${\vec{p}}_B^{\prime }$ の間の角は

$$90°$$

まとめ 実はこれは偶然ではない。等質量の弾性衝突(相手静止)では、衝突後の 2 球は必ず直角に分かれる。ビリヤードで手玉と的玉が直角に開くのはこのためである。証明は、保存則 $\vec{p}={\vec{p}}_A^{\prime }+{\vec{p}}_B^{\prime }$ の両辺を 2 乗し、KE 保存($p^2=p_A^{\prime 2}+p_B^{\prime 2}$)と見比べると内積 ${\vec{p}}_A^{\prime }\cdot {\vec{p}}_B^{\prime }=0$ が出る、という 3 行で済む。

別解

成分で具体的に確かめるルート。 A が進行方向から $37°$ 曲がったとすると、${\vec{p}}_A^{\prime }=(3.0\cos 37°,3.0\sin 37°)=(2.4,1.8)$。保存則から ${\vec{p}}_B^{\prime }=(5.0-2.4,-1.8)=(2.6,-1.8)$…これは大きさ $\sqrt{6.76+3.24}=\sqrt{10}$ となり $4.0$ に合わない——実際の角は $\cos {\theta }_A=0.60$ の側、${\vec{p}}_A^{\prime }=(1.8,2.4)$、${\vec{p}}_B^{\prime }=(3.2,-2.4)$(大きさ $4.0$ ✓)。

内積は $1.8\times 3.2+2.4\times (-2.4)=5.76-5.76=0$。内積 0=直角が成分計算でも確認できる。