物理 / 運動量と力積

重ねて落とした 2 球(エネルギーの集中)

最難関編弾性衝突運動量保存力学的エネルギー

問題

質量 $3 m$ の球Aの真上に、質量 $m$ の球Bを接するようにのせ、床から高さ $h = 0.10 m$ のところで静かに放す。2 球は接したまま落ち、まずAが床に当たる。

床との衝突、AとBの衝突はどちらも弾性衝突とし、球の大きさと空気抵抗は無視する。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

(1) 床に当たる直前の速さを求めよ。

(2) Aが床ではね返った直後の、AとBの速度をそれぞれ答えよ。

(3) その直後に起こるAとBの衝突について、衝突直後のAとBの速度を求めよ。

(4) Bが達する最高点の高さを求めよ。

(5) A、Bの質量の比を自由に変えられるとすると、Bの達する高さは $h$ の何倍まで大きくできるか。

質量 3m の球 A の上に質量 m の球 B をのせ、高さ h から静かに放す。

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床ではね返った直後、2 球の速度は同じ向きだろうか。ここを取り違えると先へ進めない。2 球が近づく速さがいくらになるかを確かめてから、弾性衝突の式に入る。

解答・解説

方針

落下の速さは自由落下から出る。床ではね返るのはAだけで、その瞬間Bはまだ下向きに動いている。この「上向きと下向きが正面からぶつかる」状況を弾性衝突として解く。近づく速さが $2 v$ もあることが、高く跳ぶ理由である。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 素朴に見ると「Bは $h$ から落ちたのだから $h$ までしか上がらない」と思いたくなる。ところが実際には何倍も跳ぶ。

カギは、Aが床ではね返った直後の一瞬である。このときAは上向き、Bはまだ下向きに動いている。つまり 2 球は速さ $2 v$ で正面から近づいている。

床を離れたあとは 2 球だけの弾性衝突なので、あとは素直に解ける。「床との衝突」と「球どうしの衝突」を別々の場面に切り分けるのが最初の一手である。

① 落下の速さ。 自由落下だから

$v = 2 g h = 2 \times 9.8 \times 0.10 = 1.96 = 1.4 m/s$

2 球は接したまま落ちるので、どちらもこの速さで下向きに動いている。

② 床ではね返った直後。 床との衝突は弾性衝突なので、Aは速さを変えずに向きだけ変える。

A:上向きに $1.4 m/s$
B:まだ下向きに $1.4 m/s$

この一瞬で 2 球は近づいており、その相対速度の大きさは $2 v = 2.8 m/s$ である。ここが問題の心臓部である。

A が床ではね返った直後。上向きと下向きで、近づく速さは 2v になっている。

③ 2 球の弾性衝突。 上向きを正とする。衝突直前はAが $+ v$ 、Bが $- v$ である。運動量保存は

$3 m (+ v) + m (- v) = 3 m v_{A}^{'} + m v_{B}^{'}$

$2 m v = 3 m v_{A}^{'} + m v_{B}^{'} \dots (i)$

弾性衝突だから、遠ざかる速さと近づく速さが等しい。

公式弾性衝突

v_{B}^{'} - v_{A}^{'} = - (v_{B} - v_{A})

(相対速度の向きが反転する)

近づく相対速度は $v_{B} - v_{A} = - v - v = - 2 v$ だから

$v_{B}^{'} - v_{A}^{'} = 2 v \dots (ii)$

$(ii)$ より $v_{B}^{'} = v_{A}^{'} + 2 v$ 。これを $(i)$ に代入する。

$2 m v = 3 m v_{A}^{'} + m (v_{A}^{'} + 2 v) = 4 m v_{A}^{'} + 2 m v$

$v_{A}^{'} = 0, v_{B}^{'} = 2 v = 2.8 m/s$

Aはその場で止まり、Bだけが $2 v$ で飛び出す。

④ 検算(エネルギー)。 衝突前の運動エネルギーは

$\frac{1}{2} (3 m) v^{2} + \frac{1}{2} m v^{2} = 2 m v^{2}$

衝突後はBだけが動いていて $\frac{1}{2} m (2 v)^{2} = 2 m v^{2}$ 。ぴたりと一致する。つまり 2 球分の運動エネルギーが、そっくり小さいBに集中したのである。

⑤ 到達する高さ。 上向きに $2 v$ で飛び出すので

$h^{'} = \frac{( 2 v ) ^{2}}{2 g} = \frac{4 v ^{2}}{2 g} = 4 h = 0.40 m$

⑥ 質量比を変えたら。 Aの質量を $M$ として同じ計算をすると、Bの飛び出す速さは

$v_{B}^{'} = \frac{3 M - m}{M + m} v$

$M$ を大きくしていくと $\frac{3 M - m}{M + m} \to 3$ に近づき、これを超えることはない。高さは速さの 2 乗に比例するので、上限は $3^{2} = 9$ 倍である。

まとめ 「跳ね返った相手と、まだ落ちてくる自分」が正面衝突する——この相対速度 $2 v$ が高く跳ぶ正体である。 $M = 3 m$ はAがちょうど止まる特別な比で、エネルギーの全額がBに移る。

答

$1.4 m/s$ 、A は上向き $1.4 m/s$ ・B は下向き $1.4 m/s$ 、衝突後 A は $0$ ・B は上向き $2.8 m/s$ 、 $0.40 m$ 、9 倍

別解

エネルギーの移りやすさから考えるルート。 前問と同じ発想で、重心とともに動く立場に乗り換える。

衝突直前、Aは $+ v$ 、Bは $- v$ 、質量は $3 m$ と $m$ だから重心の速度は

$V = \frac{3 m ( + v ) + m ( - v )}{4 m} = \frac{v}{2}$

この立場から見ると、Aは $v - \frac{v}{2} = + \frac{v}{2}$ 、Bは $- v - \frac{v}{2} = - \frac{3 v}{2}$ で動いている。弾性衝突では、この立場での速度は向きが反転するだけである。

$A : - \frac{v}{2}, B : + \frac{3 v}{2}$

床の立場に戻すには $V = \frac{v}{2}$ を足せばよい。

$v_{A}^{'} = - \frac{v}{2} + \frac{v}{2} = 0, v_{B}^{'} = \frac{3 v}{2} + \frac{v}{2} = 2 v$

連立方程式を立てずに答えが出る。しかも「Aが止まるのは、重心の速度がちょうどAの速度の半分になる質量比のとき」という見通しまで一緒に手に入る。

ポイント

床ではね返った直後、2 球は速さ 2v で正面から近づいている
A:B=3:1 のとき A は止まり、運動エネルギーが全額 B に移る
高さは速さの2乗に比例。上限は 9h(A が非常に重いとき)

よくある間違い

床ではね返った直後も 2 球が同じ向きに動いていると思い込む
「B は h から落ちたのだから h までしか上がらない」と決めつける(外から床が力積を与えている)
速さが 2 倍だから高さも 2 倍と答える(高さは 2 乗に比例するので 4 倍)