物理 / 運動量と力積

バウンドをくり返す時間の合計

★★★ 応用反発係数無限等比級数融合

問題

ボールを高さ $4.9 m$ から静かに落とす。床との反発係数を $0.50$ とする。ボールが床との衝突をくり返し、やがて弾まなくなるまでの時間の合計を求めよ。ただし衝突にかかる時間は無視する。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

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1 回目の落下時間をまず出す。バウンド後の「上がって下りる」時間は、速さが e 倍になるごとにどう変わるか。無限に続く足し算は、等比数列の和の公式(数学 III の無限等比級数)が引き受けてくれる。

解答・解説

方針

最初の落下は 1.0 秒。以後の各バウンドは上がって下りて 2×(e^n×1.0) 秒。合計は 1.0+2×1.0×(0.5+0.25+…)=1.0+2×1.0×0.5/(1−0.5)=3.0 秒(無限等比級数)。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 バウンドは無限回くり返されるが、各回の時間が公比 $e$ の等比数列で縮んでいくため、合計は有限に収まる。物理で数列の和を使う代表例である。

① 最初の落下時間。

$t_{0} = \frac{2 h}{g} = \frac{2 \times 4.9}{9.8} = 1.0 秒$

② 各バウンドの滞空時間。 はね返り直後の速さは $e v, e^{2} v, \dots$ ( $v = g t_{0} = 9.8 m/s$ )。上がって下りる時間は速さに比例し

$2 \times e t_{0}, 2 \times e^{2} t_{0}, \dots$

③ 無限等比級数で合計する。

$T = t_{0} + 2 t_{0} (e + e^{2} + \dots) = t_{0} + 2 t_{0} \cdot \frac{e}{1 - e}$

公式無限等比級数

a + a r + a r^{2} + \dots = \frac{a}{1 - r}

(

∣ r ∣ < 1

)

$T = 1.0 + 2 \times 1.0 \times \frac{0.5}{0.5} = 1.0 + 2.0 = 3.0 秒$

バウンドの y-t グラフ。滞空時間が半分ずつになり、3.0 秒で収束する

まとめ 無限回弾むのに、時間は $3.0$ 秒でぴたりと尽きる——数学の収束が物理の「カタカタ…と止まる」現象に対応している。高さの合計(等比 $e^{2}$ )や道のりの合計も同じ手法で求められる。

答

$3.0$ 秒

別解

数値で部分和を確かめるルート。 各滞空時間は $1.0, 1.0, 0.5, 0.25, \dots$ (最初の落下 $1.0$ +以後 $2 e^{n} t_{0}$ )。部分和は $1.0 \to 2.0 \to 2.5 \to 2.75 \to 2.875 \to \dots$ と $3.0$ に迫っていく。

10 項も足せば $2.998$ ——「無限の足し算が 3.0 に収束する」ことを、電卓の実感として持っておくと、級数の公式が信じられるようになる。

ポイント

各バウンドの時間は公比 e の等比数列
T=t₀+2t₀e/(1−e)
無限回でも合計時間は有限

よくある間違い

最初の落下の 2 倍化(最初は片道)を混同する
公比を e² にする(時間は速さ比例で e)
級数の初項を t₀ にする(2t₀e から始まる)