落ちる鎖が床に及ぼす力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 つい「床にかかる力 = 積もった鎖の重さ」と答えたくなる。しかしそれでは、鎖が次々に飛び込んできて止められている事実が抜けている。

止まっている物を支えるのと、動いている物を止めるのは別の仕事である。後者には力積が要る。

そこで床にかかる力を 2 つに分けて数える。すでに積もった分を支える力と、飛び込んでくる分を止める力である。切り分けたら、あとは微小時間 $\Delta t$ で運動量の勘定をするだけである。

① 落ちてくる部分の速さ。 落ちていない部分は張力を受けず自由落下する。上端が $x$ だけ落ちた瞬間の速さは

$$v=\sqrt{2gx}$$

このとき、床には長さ $x$ の鎖が積もっている。

② 微小時間に飛び込む質量と力積。 単位長さあたりの質量は $\frac{M}{L}$ である。時間 $\Delta t$ のあいだに長さ $v\Delta t$ の鎖が床に達するから

$$\Delta M=\frac{M}{L}v\Delta t$$

この部分は速さ $v$ で飛び込み、床で止まる。運動量の変化の大きさは $\Delta M\cdot v$ だから、床がこの部分に与える力積の大きさは

$$\Delta M\cdot v=\frac{M}{L}{v}^2\Delta t$$

作用・反作用より、この部分が床に与える力積も同じ大きさである。

③ 床にかかる力。 力積を $\Delta t$ で割ると、飛び込む分から受ける力になる。

$$F_1=\frac{M}{L}{v}^2=\frac{M}{L}\cdot 2gx=\frac{2Mgx}{L}$$

一方、すでに積もっている長さ $x$ の部分の重さは

$$F_2=\frac{M}{L}xg=\frac{Mgx}{L}$$

床が受ける力の合計は

$$F=F_1+F_2=\frac{2Mgx}{L}+\frac{Mgx}{L}=\frac{3Mgx}{L}$$

積もっている部分の重さは $\frac{Mgx}{L}$ だったから、床にかかる力はつねにその 3 倍 である。

④ 最後の瞬間。 $x=L$ を入れる。

$$F=3Mg=3\times 2.0\times 9.8=58.8\mathrm{N}$$

鎖ぜんぶの重さ $19.6\mathrm{N}$ の 3 倍である。

まとめ 「支える力」と「止める力」は別物である。連続的に飛び込んでくるものを止める力は、単位時間に持ち込まれる運動量で測る。倍率が $x$ によらず 3 になるのは、速さの 2 乗が $x$ に比例する($v^2=2gx$)からである。

別解

鎖ぜんぶを 1 つの系として見るルート。 落ちていない部分と積もった部分を分けずに、鎖全体を 1 つの系として運動量の変化を見る。

上端が $x$ 落ちた瞬間、系の全運動量は「落ちていない部分の質量 × その速さ」である。

$$p=\frac{M}{L}(L-x)\cdot v=\frac{M}{L}(L-x)\sqrt{2gx}$$

系にはたらく外力は、重力 $Mg$(下向き)と床からの垂直抗力 $N$(上向き)だけである。運動量の変化の速さが外力に等しいから

$$\frac{\Delta p}{\Delta t}=Mg-N$$

$\Delta p/\Delta t$ を計算するには、$x$ の変化が $\Delta x=v\Delta t$ であることを使う。結果だけ書くと

$$\frac{\Delta p}{\Delta t}=Mg-\frac{3Mgx}{L}$$

となり、これを上の式と見比べれば $N=\frac{3Mgx}{L}$ が出る。

②③のように場面を切り分けるほうが手は速いが、こちらのルートは「外力=全運動量の変化の速さ」という 1 本の原理だけで押し切れるのが強みである。落ちていない部分の質量が減っていくことと、その速さが増えていくことが、同時に効いている点に注意したい。