糸がぴんと張る瞬間の撃力

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「糸が張る」という現象を衝突として扱うのがこの問題の出発点である。ごく短い時間に大きな力がはたらき、速度が飛ぶように変わる。

ここで効くのは、その力が糸に沿った向きにしかはたらかないという点である。力がはたらかない向きには、力積もゼロ。つまり速度は変わらない。

だから速度を糸の方向と垂直方向に分け、方向ごとに別々に処理する。糸の方向だけが「衝突」で、垂直方向は素通りである。

① 速度を分ける。 はじめAの速度は $v_0$ で、糸の方向と $60^{\circ }$ をなしている。

• 糸の方向の成分:$v_0\cos 60^{\circ }=\frac{v_0}{2}=2.0m/s$
• 垂直方向の成分:$v_0\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0=2\sqrt{3}m/s$

Bははじめ静止しているので、どちらの成分も $0$ である。

② 垂直方向。 この向きには撃力がはたらかないから、力積が $0$ である。

$$\text{A の垂直成分}=2\sqrt{3}m/s(\text{変化なし}),\text{B の垂直成分}=0$$

③ 糸の方向。 糸は伸びないので、張った直後は 2 球がこの向きに離れていくことができない。つまりこの向きの相対速度が $0$ になる。

これは、この向きだけを見れば完全非弾性衝突と同じである。質量が等しいので、共通の速度は 2 等分になる。

$$v_{\parallel }=\frac{1}{2}\cdot \frac{v_0}{2}=\frac{v_0}{4}=1.0m/s$$

運動量で確かめる。糸の方向のはじめの運動量は $m\cdot \frac{v_0}{2}$、あとは $2m\cdot \frac{v_0}{4}$ で等しい。

④ 直後の速さ。 Bは糸の方向の成分しかもたない。

$$v_B=\frac{v_0}{4}=1.0m/s$$

Aは 2 つの成分をもつので、三平方の定理で合わせる。

$$v_A=\sqrt{{\left(\frac{v_0}{4}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}{v}_0\right)}^2}=v_0\sqrt{\frac{1}{16}+\frac{12}{16}}=\frac{\sqrt{13}}{4}{v}_0$$

$$v_A=\frac{\sqrt{13}}{4}\times 4.0=\sqrt{13}\fallingdotseq 3.6m/s$$

⑤ 失われるエネルギー。 はじめと直後で比べる。

$$E_0=\frac{1}{2}m{v}_0^2=\frac{1}{2}m\times 16=8.0m$$

$$E_1=\frac{1}{2}m{v}_A^2+\frac{1}{2}m{v}_B^2=\frac{1}{2}m(13)+\frac{1}{2}m(1)=7.0m$$

失われたのは $1.0m$、割合は

$$\frac{E_0-E_1}{E_0}=\frac{1.0m}{8.0m}=\frac{1}{8}$$

まとめ 撃力の向きだけが「衝突」で、垂直な向きは何も起こらない。この分解ができれば、斜めに張る糸も、なめらかな壁への斜めの衝突も、同じ 1 つの型で処理できる。失われるのは糸の方向の運動エネルギーの半分だけである。

別解

一般の角で書いて、割合の意味を見るルート。 角を $\theta$ のままにして③④を進めると、失われる割合が簡単な形になる。

糸の方向の成分は $v_0\cos \theta$ で、等質量の完全非弾性だから、この向きの運動エネルギーはちょうど半分が失われる。

$$\Delta E=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}m(v_0\cos \theta {)}^2=\frac{1}{4}m{v}_0^2{\cos }^2\theta$$

はじめのエネルギーは $\frac{1}{2}m{v}_0^2$ だから、割合は

$$\frac{\Delta E}{E_0}=\frac{1}{2}{\cos }^2\theta$$

$\theta =60^{\circ }$ を入れれば $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{8}$ で、④⑤の答えと合う。

この形は 2 つの極端な場合をきれいに説明する。$\theta =0^{\circ }$(糸に沿って走り去る)なら割合は $\frac{1}{2}$ で、等質量の完全非弾性衝突と同じ最大の損失になる。$\theta =90^{\circ }$(糸に垂直に走る)なら $0$ で、糸は張っても何も起こらない。角度は「糸の方向にどれだけの運動を持ち込んだか」を測っているわけである。