物理 / 運動量と力積

運動量の変化と力積

★ 基礎力積運動量の変化

問題

質量 $2.0 kg$ の物体が一直線上を $3.0 m/s$ で進んでいる。進行方向に一定の力を $0.50$ 秒間加えたところ、速さは $8.0 m/s$ になった。(1) 物体が受けた力積 (2) 加えた力の大きさをそれぞれ求めよ。

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力積は「あとの運動量−前の運動量」に等しい。まず前後の運動量をそれぞれ計算しよう。力の大きさは、力積を時間で割り戻せば出る。

解答・解説

力積=運動量の変化(I=Δp=mv'−mv)。力積を出してから、I=Ft で力に換算する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 力積と運動量をつなぐのが、この単元の背骨の式である。

公式力積=運動量の変化:

F t = m v^{'} - m v

運動方程式 $ma = F$ の両辺に $t$ を掛け、 $a t = v^{'} - v$ を使えば導ける。「力を時間で積むと、勢いの変化になる」。

① 力積を求める。

$I = m v^{'} - m v = 2.0 \times 8.0 - 2.0 \times 3.0 = 16 - 6.0 = 10 N \cdot s$

② 力の大きさ。 $I = F t$ より

$F = \frac{I}{t} = \frac{10}{0.50} = 20 N$

前の運動量に力積を足すと後の運動量になる(6.0+10=16)

まとめ この式の強みは、力の詳細(一定かどうか)を知らなくても、前後の運動量だけで力積が出ること。衝突のような複雑な力でも「平均の力×時間」として扱える。運動量は「力積という入金で増える口座残高」のイメージである。

答

(1) $10 N \cdot s$ (2) $20 N$

運動方程式で刻むルート(検算)。 加速度は $a = \frac{8.0 - 3.0}{0.50} = 10 m/ s^{2}$ 。運動方程式から

$F = ma = 2.0 \times 10 = 20 N$

力積は $F t = 20 \times 0.50 = 10 N \cdot s$ 。運動方程式ルートと力積ルートは同じ内容の別表現で、どちらからでも同じ答えに着く。等加速度でない場合に力積ルートだけが生き残る、という守備範囲の違いを覚えておく。