斜めに投げたボールが跳ねながら進む距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 床との衝突で変わるのは鉛直方向の速さだけ、水平方向は最初から最後まで $5.0m/s$ のままである。2つの向きを完全に切り離せる のがこの問題の要である。

1回の跳躍で空中にいる時間は、鉛直の速さだけで決まる。その鉛直の速さが跳ねるたびに $e$ 倍になるのだから、滞空時間も $e$ 倍ずつ。水平距離は「一定の速さ×滞空時間」なので、やはり $e$ 倍ずつの等比数列になる。

こうなれば残りは等比数列の和である。跳ねる回数は無限に続くが、距離の和は有限に収まる。

① 1回目。 鉛直の速さ $9.8m/s$ で投げ上げて床に戻るまでの時間は

$$t_1=\frac{2\times 9.8}{9.8}=2.0\mathrm{s}$$

水平方向は等速だから

$$x_1=5.0\times 2.0=10\mathrm{m}$$

② 2回目。 床ではね返った直後の鉛直の速さは

$$9.8\times 0.50=4.9m/s$$

$$t_2=\frac{2\times 4.9}{9.8}=1.0\mathrm{s},x_2=5.0\times 1.0=5.0\mathrm{m}$$

1回目のちょうど半分になった。滞空時間が $e$ 倍になり、水平の速さは変わらないからである。

③ 一般項と合計。 跳ねるたびに鉛直の速さが $e$ 倍、したがって滞空時間も $e$ 倍、水平距離も $e$ 倍になる。

$$x_n=x_1{e}^{n-1}=10\times 0.50^{n-1}\mathrm{m}$$

合計は

$$X=\frac{x_1}{1-e}=\frac{10}{1-0.50}=20\mathrm{m}$$

跳ねる回数は限りなく続くのに、進む距離は $20\mathrm{m}$ で止まる。

④ 向きの変化。 床から飛び出す速度の、水平からの傾きの正接は

$$\tan {\theta }_n=\frac{(\text{鉛直の速さ})}{5.0}$$

分子だけが $e$ 倍ずつになるので、正接も $e$ 倍ずつになる。

$$\tan {\theta }_1=\frac{9.8}{5.0}=1.96,\tan {\theta }_2=0.98,\tan {\theta }_3=0.49$$

跳ねるたびに角度が浅くなり、しだいに水平に寝ていく。 水切りの石が最後にすーっと滑るように進むのは、これと同じである。

まとめ 「変わるのは鉛直だけ」と見切れば、滞空時間も水平距離も同じ公比の等比数列になる。無限に跳ねても距離が有限に収まるのは、公比が1より小さいからである。

発展 — 一歩先へ。 同じ計算を時間についてすると、跳ね終わるまでの時間も $\frac{t_1}{1-e}=4.0\mathrm{s}$ と有限になる。無限回跳ねるのに、有限の時間で終わる。 1回ごとの時間が0に近づく速さのほうが、回数が増える速さより速いからである。

現実にはボールが跳ねるのをやめて転がり始める。転がり出す条件は、鉛直の速さが十分小さくなり、床との接触が続くようになったときで、そこから先は摩擦の問題に変わる。

別解

エネルギーで高さを追い、そこから時間を出すルート。 鉛直方向だけを取り出すと、これは真上に投げ上げたボールが跳ねる問題と同じである。

はね返るたびに鉛直の速さが $e$ 倍になるので、到達する高さは $e^2$ 倍になる。

$$h_1=\frac{9.8^2}{2\times 9.8}=4.9\mathrm{m},h_2=4.9\times 0.25=1.225\mathrm{m}$$

滞空時間は高さから $t=2\sqrt{\frac{2h}{g}}$ で出るので、$h$ が $e^2$ 倍なら $t$ は $e$ 倍。ここで③と同じ公比にたどりつく。

$$t_1=2\sqrt{\frac{2\times 4.9}{9.8}}=2.0\mathrm{s},t_2=2\sqrt{\frac{2\times 1.225}{9.8}}=1.0\mathrm{s}$$

高さは $e^2$ 倍、時間と速さは $e$ 倍、という対応をつかんでおくと、どの量を聞かれても公比をすぐ書ける。速度から出すルートが最短だが、高さで測る実験(はね返る高さを見る)と結びつけたいときはこちらが役に立つ。