ボートの上を歩くとボートはどれだけ動くか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 人が歩けばボートを後ろへ蹴る。ボートは人を前へ押し返す。この2つは作用と反作用で、系の内側でやりとりされる 内力 である。

内力は系全体の運動量を変えない。水平方向には外から力がはたらかないので、はじめ 0 だった運動量はずっと 0 のまま である。

運動量が 0 のままということは、系の重心が動かないということでもある。そこで「重心が動かない」と「人はボートに対して $L$ だけ移動した」の2本を連立する。速さや歩き方は式に出てこない。ここが答えの形を決める。

① 運動量。 水平方向に外力がないので、人とボートを合わせた運動量は保存する。はじめ両方とも静止していたから、その値は $0$ である。歩いているあいだも、人の運動量とボートの運動量は大きさが等しく向きが逆で、和は $0$ を保つ。

② ③ 変位。 岸を基準にして、人の変位を $x_M$、ボートの変位を $x_m$ とする(人の進む向きを正とする)。運動量が常に $0$ なので、それを時間で足し合わせた変位についても

$$M{x}_M+m{x}_m=0$$

が成り立つ。これは「重心が動かない」と言っているのと同じである。

もう1本は、人がボートの端から端まで歩いたという条件である。ボートに対する人の変位が $L$ だから

$$x_M-x_m=L$$

2本を連立する。第1式より $60x_M=-120x_m$、すなわち $x_M=-2x_m$。これを第2式に入れて

$$-2x_m-x_m=3.0⟹x_m=-1.0\mathrm{m}$$

$$x_M=-2\times (-1.0)=2.0\mathrm{m}$$

ボートは人の進む向きと逆に $1.0\mathrm{m}$、人は岸に対して進む向きに $2.0\mathrm{m}$ 動く。 変位の大きさの比 $2:1$ は、質量の比 $120:60$ の逆になっている。

④ 歩く速さによるか。 ②③の式に速さも時間も出てこない。出てきたのは質量と長さだけである。したがって 速く歩いてもゆっくり歩いても結果は同じ である。

途中で止まればそこで両方止まる。走ってから急に止まっても、行き着く先は変わらない。

まとめ 内力だけの系では重心が動かない。この1本と「相対的にどれだけ動いたか」を組み合わせると、途中の運動を一切追わずに最終位置が出る。速さが答えに出てこないのは、重心の条件が時間を含まないからである。

発展 — 一歩先へ。 同じ理屈は宇宙でも成り立つ。宇宙船の中で乗員が船首から船尾へ移動すると、船は逆向きにわずかに動く。乗員が戻れば船も戻る。内力だけでは重心を動かせないので、いくら中で暴れても宇宙船は目的地に近づけない。 ロケットが推進剤を外へ捨てるのは、系の外へ運動量を持ち出す以外に方法がないからである。

別解

速度の式から積み上げるルート。 重心の考えを使わず、運動量保存の式をそのまま時間で追ってもよい。

歩いているあいだ、ある瞬間の人の速度を $V$、ボートの速度を $v$ とすると

$$MV+mv=0⟹v=-\frac{M}{m}V=-\frac{1}{2}V$$

どの瞬間をとってもボートの速さは人の速さのちょうど半分で、向きは逆 である。速さが変わっても比は変わらない。

比が一定なら、それぞれの速度を歩いているあいだ足し合わせた変位についても、同じ比が成り立つ。

$$x_m=-\frac{1}{2}{x}_M$$

これと $x_M-x_m=L$ を連立すれば、$x_M=\frac{2}{3}L=2.0\mathrm{m}$、$x_m=-\frac{1}{3}L=-1.0\mathrm{m}$ が出る。

このルートだと ④ の答えが途中で見えてくる。比が速さによらず一定だから、歩き方を変えても結果が変わらない のである。重心を持ち出すルートが「時間を消す」のに対し、こちらは「時間が消える理由」を見せている。