3 球の連続衝突

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 連続衝突は1 衝突ずつ順番に処理する。それぞれは既習の型(一般式・速度交換)である。最後に全員の速度を並べ、再衝突が起こらないことまで確認して初めて「最終状態」と言える。

① A→B の衝突。 一般式($m_A=1.0$、$m_B=2.0$)より

$$v_A^{\prime }=\frac{1.0-2.0}{3.0}\times 3.0=-1.0m/s,v_B^{\prime }=\frac{2\times 1.0}{3.0}\times 3.0=2.0m/s$$

A は左へはね返り、B が右へ $2.0m/s$ で進む。

② B→C の衝突。 等質量の弾性衝突だから速度交換:

$$B:0(静止),C:2.0m/s$$

③ 再衝突の確認。 A は $-1.0$(左へ)、B は $0$、C は $2.0$(右へ)。左から $A\to B\to C$ の順で、互いに離れていく——再衝突なし。これで確定である。

まとめ ニュートンのゆりかごの 3 球版。もし A が重かったら($v_A^{\prime }>0$)、止まった B に A が追いついて再衝突が起こり、処理が続く。「最終状態か?」の検分は連続衝突の必須の締めで、忘れると 1 回分足りない答えを出す。

別解

保存量でまとめて検算するルート。 最終状態の運動量: $1.0\times (-1.0)+2.0\times 0+2.0\times 2.0=3.0\mathrm{kg}\cdot m/s$=初期値 $1.0\times 3.0$ ✓。

運動エネルギー: $\frac{1}{2}(1.0)(1.0)+0+\frac{1}{2}(2.0)(4.0)=0.5+4.0=4.5\mathrm{J}$=初期値 $\frac{1}{2}(1.0)(9.0)$ ✓。

全衝突が弾性なら、途中を追わずとも総運動量と総 KE は最初と一致するはず——最終状態の妥当性を丸ごと検算できる。