物理 / 運動量と力積

3 球の連続衝突

★★★ 応用弾性衝突連続衝突

問題

なめらかな水平面上に、質量 $2.0 kg$ の球 B と質量 $2.0 kg$ の球 C がこの順に静止している。質量 $1.0 kg$ の球 A が速さ $3.0 m/s$ で B に正面から弾性衝突し、続いて B が C に正面から弾性衝突した。すべての衝突の後の A、B、C の速度を求めよ。

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衝突を 1 つずつ処理する。A→B は質量が違うので弾性衝突の一般式、B→C は等質量なので速度交換。最後に「もう衝突が起こらないか」を全員の速度を並べて確認するのを忘れずに。

解答・解説

方針

A→B は一般式で vA'=−1.0、vB'=2.0。B→C は等質量弾性で速度交換、B が止まり C が 2.0 m/s。A は左へ去るので再衝突なし。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 連続衝突は1 衝突ずつ順番に処理する。それぞれは既習の型(一般式・速度交換)である。最後に全員の速度を並べ、再衝突が起こらないことまで確認して初めて「最終状態」と言える。

① A→B の衝突。 一般式( $m_{A} = 1.0$ 、 $m_{B} = 2.0$ )より

$v_{A}^{'} = \frac{1.0 - 2.0}{3.0} \times 3.0 = - 1.0 m/s, v_{B}^{'} = \frac{2 \times 1.0}{3.0} \times 3.0 = 2.0 m/s$

A は左へはね返り、B が右へ $2.0 m/s$ で進む。

② B→C の衝突。 等質量の弾性衝突だから速度交換:

$B : 0 (静止), C : 2.0 m/s$

③ 再衝突の確認。 A は $- 1.0$ (左へ)、B は $0$ 、C は $2.0$ (右へ)。左から $A \to B \to C$ の順で互いに離れていくので、再衝突は起こらない。これで確定である。

A→B(一般式)、B→C(速度交換)。最後に再衝突なしを確認

まとめニュートンのゆりかごの 3 球版。もし A が重かったら( $v_{A}^{'} > 0$ )、止まった B に A が追いついて再衝突が起こり、処理が続く。「最終状態か?」の検分は連続衝突の必須の締めで、忘れると 1 回分足りない答えを出す。

答

A: $- 1.0 m/s$ (はね返る)、B: $0$ (静止)、C: $2.0 m/s$ 。以後再衝突は起こらない

別解

保存量でまとめて検算するルート。 最終状態の運動量: $1.0 \times (- 1.0) + 2.0 \times 0 + 2.0 \times 2.0 = 3.0 kg \cdot m/s$ =初期値 $1.0 \times 3.0$ 。運動エネルギー: $\frac{1}{2} (1.0) (1.0) + 0 + \frac{1}{2} (2.0) (4.0) = 0.5 + 4.0 = 4.5 J$ =初期値 $\frac{1}{2} (1.0) (9.0)$ 。

全衝突が弾性なら、途中を追わずとも総運動量と総 KE は最初と一致するはずである。これで最終状態の妥当性をまとめて検算できる。

ポイント

1 衝突ずつ既習の型で処理
最後に再衝突の有無を確認
総運動量・総 KE で丸ごと検算

よくある間違い

B→C を一般式で解き直して計算を重くする(等質量は交換)
A のはね返り(負号)を見落とす
再衝突の確認をせず途中の状態を最終解とする