単振動 ばね振り子・単振り子・エネルギー

ある物体が振幅 $0.20\mathrm{m}$、周期 $0.50$ 秒の単振動をしている。(1) 振動数 (2) 角振動数 をそれぞれ求めよ。円周率を $\pi =3.14$ とする。

半径 $0.10\mathrm{m}$ の円周上を角速度 $5.0rad/s$ で等速円運動する物体に、真横から光を当てて壁にできる影の運動を考える。(1) 影の運動の振幅と角振動数 (2) 影の速さの最大値 をそれぞれ答えよ。

振幅 $0.20\mathrm{m}$、角振動数 $4.0rad/s$ の単振動をする物体について、(1) 速さの最大値と、それはどの位置で実現するか (2) 加速度の大きさの最大値と、それはどの位置で実現するか を答えよ。

角振動数 $4.0rad/s$ の単振動をする物体が、振動の中心から $0.10\mathrm{m}$ の位置にあるとき、加速度の大きさと向きを求めよ。

ある物体(質量 $0.50\mathrm{kg}$)にはたらく力が、振動の中心からの変位 $x$ に対して $F=-Kx$($K=8.0N/m$)と表される。(1) $x=0.30\mathrm{m}$ のときの力の大きさと向き (2) この物体の運動はどんな運動になるか を答えよ。

ばね定数 $20N/m$ の軽いばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体をつけて、なめらかな水平面上で振動させた。振動の周期を求めよ。$\pi =3.14$ とする。

ばね定数 $20N/m$ の軽いばねに質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体をつけた水平ばね振り子(周期 $0.63$ 秒)について、引いて放す長さ(振幅)を $0.10\mathrm{m}$ から $0.20\mathrm{m}$ に変えた。(1) 周期はどうなるか。 (2) 最大の速さはどうなるか。それぞれ理由とともに答えよ。

ばね定数 $19.6N/m$ の軽いばねを天井からつるし、下端に質量 $0.40\mathrm{kg}$ のおもりを付けて静止させた。ばねの自然長からの伸びを求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

ばね定数 $19.6N/m$ の軽いばねを天井からつるし、下端に質量 $0.40\mathrm{kg}$ のおもりを付けた。つり合いの位置から少し引き下げて放すと、おもりは鉛直方向に単振動した。振動の周期を求めよ。$\pi =3.14$ とする。

長さ $2.45\mathrm{m}$ の軽い糸の先に小球をつけた単振り子を、小さく振らせた。振動の周期を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

地球上で周期 $2.0$ 秒の単振り子を、重力加速度が地球の $\frac{1}{6}$ の月面に持っていくと、周期は約何秒になるか。$\sqrt{6}=2.45$ とする。

ばね定数 $20N/m$ のばねに質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体をつけた水平ばね振り子を、振幅 $0.30\mathrm{m}$ で振動させている。(1) この振動の力学的エネルギー (2) 振動の中心を通過するときの速さ をそれぞれ求めよ。

ある物体の位置が時刻 $t$ [s] を用いて $x=0.40\sin (2\pi t)$ [m] と表される。(1) 振幅 (2) 周期 (3) 速さの最大値 をそれぞれ求めよ。$\pi =3.14$ とする。

振幅 $0.20\mathrm{m}$、周期 $2.0$ 秒の単振動が時刻 $t=0$ に振動の中心を正の向きに通過した。(1) $t=0.50$ 秒(周期の $1/4$)での位置と速さ (2) このときの加速度の大きさは最大か 0 か を答えよ。$\pi =3.14$ とする。

ばね定数 $20N/m$ のばねに質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体をつけたばね振り子の周期は $0.63$ 秒である。物体を質量 $0.80\mathrm{kg}$ のものに取り替えると、周期は何秒になるか。

ばね定数 $19.6N/m$ の軽いばねを天井からつるし、質量 $0.40\mathrm{kg}$ のおもりを付ける(つり合いの伸びは $0.20\mathrm{m}$)。おもりを、ばねの伸びが $0.30\mathrm{m}$ になる位置まで引き下げ、静かに放した。(1) 振動の中心はどこか(自然長からの伸びで答えよ) (2) 振幅 (3) おもりが最も高く上がったときの、ばねの自然長からの伸び を求めよ。

周期がちょうど $2.0$ 秒になる単振り子(秒振り子)の糸の長さを求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、${\pi }^2=9.87$ とする。

ばね定数 $20N/m$ のばねに質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体をつけた水平ばね振り子が、振幅 $0.30\mathrm{m}$ で振動している。変位が $x=0.18\mathrm{m}$ のときの物体の速さを求めよ。

単振動する物体の x-t グラフが $x=A\sin \omega t$ の形で与えられている。(1) v-t グラフと a-t グラフはそれぞれどんな関数の形になるか。 (2) 「速さが最大になる時刻」と「加速度の大きさが最大になる時刻」は、x-t グラフのどんな時刻に対応するか。

ばね定数 $10N/m$ の同じばね 2 本を並列に(横に並べて)つなぎ、質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体を付けて、なめらかな水平面上で振動させた。(1) 合成ばね定数 (2) 振動の周期 をそれぞれ求めよ。$\pi =3.14$ とする。

ばね定数 $10N/m$ の同じばね 2 本を直列に(縦に一列に)つなぎ、質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体を付けて、なめらかな水平面上で振動させた。(1) 合成ばね定数 (2) 振動の周期 をそれぞれ求めよ。$\pi =3.14$ とする。

傾きの角 $30°$ のなめらかな斜面上で、斜面下方に固定したばね(ばね定数 $9.8N/m$)の上端に質量 $0.20\mathrm{kg}$ の物体をつけた。(1) つり合いの位置での、ばねの自然長からの縮み (2) つり合いの位置から少しずらして放したときの振動の周期 をそれぞれ求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

断面積 $1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$ の一様な円柱形の浮きが、水面に鉛直に浮かんでいる(質量 $0.98\mathrm{kg}$)。この浮きを少し押し沈めて放すと、鉛直方向に単振動した。振動の周期を求めよ。水の密度を $1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ とする。

長さ $2.45\mathrm{m}$ の単振り子を、水平に一定の加速度 $7.35m/{\mathrm{s}}^2$ で走る電車の中で小さく振らせた。振動の周期を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$、$\sqrt{0.20}=0.447$ とする。

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の物体をつけて振動させる。(1) 自然長からの変位が $x$ のときの物体の運動方程式を書け。 (2) 単振動の加速度の式 $a=-{\omega }^{2}x$ と比較して、角振動数 $\omega$ と周期 $T$ を $k,m$ で表せ。 (3) $k=20N/m$、$m=0.20\mathrm{kg}$ のときの $\omega$ を求めよ。

ばね定数 $k$ の軽いばねを天井からつるし、質量 $m$ のおもりを付ける。つり合いの位置でのばねの伸びを $x_0$ とし、つり合いの位置から下向きに $X$ だけ変位したときのおもりにはたらく合力を考える。(1) $x_0$ を $m,g,k$ で表せ。 (2) 変位 $X$ のときの合力(下向きを正)が $-kX$ となることを示せ。 (3) この結果から、振動の中心と周期について言えることを述べよ。

長さ $L$ の糸に質量 $m$ のおもりをつけた単振り子が、鉛直から小さい角 $\theta$ だけ振れている。最下点からの弧に沿った変位を $x$($=L\theta$)とする。(1) おもりにはたらく重力の、運動方向(接線方向)の成分の大きさを書け。 (2) $\theta$ が十分小さいとき $\sin \theta \approx \theta$ とみなせることを使い、復元力が $-\frac{mg}{L}x$ と書けることを示せ。 (3) 周期 $T$ を求め、$L=2.45\mathrm{m}$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ のときの値を計算せよ。

角振動数 $\omega$、振幅 $A$ で単振動する質量 $m$ の物体(ばね定数 $k=m{\omega }^2$ のばね振り子とみなす)について、エネルギー保存則を用いて、変位が $x$ のときの速さ $v$ が

$$v=\omega \sqrt{A^2-x^2}$$

と表せることを導け。また、この式から速さが最大・最小になる位置を読み取れ。

断面積 $S$ の一様な柱状の物体(質量 $m$)が、密度 $\rho$ の液体に鉛直に浮かんでつり合っている。これを少し押し沈めて放すと単振動する。(1) つり合いの位置から $x$ 沈めたときの合力(下向きを正)を書け。 (2) 周期 $T$ を $m,\rho ,S,g$ で表せ。 (3) $m=0.98\mathrm{kg}$、$S=1.0\times 10^{-2}{\mathrm{m}}^2$、$\rho =1.0\times 10^{3}kg/{\mathrm{m}}^3$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ として値を確かめよ。

断面積が一様な U 字管に、全長 $L=4.9\mathrm{m}$ の液体(密度 $\rho$、断面積 $S$)が入っている。片方の液面を少し押し下げて放すと、液体全体が管に沿って振動した。液面が中央(つり合い)から $x$ ずれたときの復元力を考えて、振動の周期を求めよ。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

地球の中心を通るまっすぐなトンネルを掘り、物体を静かに落とす(摩擦・空気抵抗は無視する)。地球内部では、中心からの距離 $x$ の位置の物体にはたらく重力が $F=-\frac{mg}{R}x$($R$: 地球半径、$g$: 地表の重力加速度)と表せることが知られている。(1) この物体の運動が単振動になる理由を述べ、周期 $T$ を $R,g$ で表せ。 (2) $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$、$g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、$\pi =3.14$ として周期を分単位で求めよ。 (3) 反対側の地表に到達するまでの時間は何分か。

なめらかな水平面上に、ばね定数 $40N/m$ のばねの先に付けた質量 $0.30\mathrm{kg}$ の木片が静止している(ばねは自然長)。質量 $0.10\mathrm{kg}$ の弾丸が速さ $8.0m/s$ で木片に撃ち込まれ、一体となってばねを押し縮めながら振動を始めた。(1) 一体となった直後の速さ (2) ばねの最大の縮み(=振幅) (3) 振動の周期 をそれぞれ求めよ。$\pi =3.14$ とする。

水平な台が水平方向に振幅 $A=0.080\mathrm{m}$、角振動数 $\omega =7.0rad/s$ の単振動をしている。その上に物体を置くと、はじめは台と一緒に振動した。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 物体が台と一緒に振動しているとき、物体を振動させている力は何か。またその大きさの最大値を、物体の質量 $m$ を使って表せ。

(2) 物体が滑り出さないために必要な、物体と台のあいだの静止摩擦係数の最小値を求めよ。

(3) 振幅だけを2倍にすると、(2) の値はどうなるか。

(4) 振幅はそのままで振動数だけを2倍にすると、(2) の値はどうなるか。

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k=32N/m$ のばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $m=2.0\mathrm{kg}$ の物体をつないだ。

物体をつり合いの位置から $x_0=0.30\mathrm{m}$ だけ引き、そこで手を放すと同時に、さらに壁から遠ざかる向きに速さ $v_0=1.6m/s$ を与えた。

(1) この振動の角振動数と周期を求めよ。

(2) 振幅を求めよ。

(3) 振動中の最大の速さと最大の加速度を求めよ。

(4) つり合いの位置を原点、遠ざかる向きを正として $x=A\sin (\omega t+\phi )$ と書くとき、$\tan \phi$ を求めよ。

エレベーターの天井から、ばね定数 $k=8.0N/m$ のばねで質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ のおもりを吊るしたもの(ばね振り子)と、長さ $L=0.98\mathrm{m}$ の糸に小さなおもりを吊るしたもの(単振り子)を並べて置く。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、円周率を $\pi =3.14$ とする。

(1) エレベーターが静止しているとき、それぞれの周期を求めよ。

(2) エレベーターが上向きに一定の加速度 $a=2.45m/{\mathrm{s}}^2$ で動いているとき、それぞれの周期はどうなるか。

(3) エレベーターのロープが切れて自由落下したとき、それぞれの運動はどうなるか。

(4) ばね振り子の周期がエレベーターの加速度によらない理由を述べよ。

周期 $2.0\mathrm{s}$ の振り子(長さ約 $0.99\mathrm{m}$)を使った振り子時計がある。1日を $8.64\times 10^4\mathrm{s}$、地球の半径を $R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ とする。

周期が $\Delta T$ だけ長くなると、時計は1日あたり $\frac{\Delta T}{T}\times 8.64\times 10^4\mathrm{s}$ だけ遅れる。

(1) 気温が上がって振り子の棒が $0.020\%$ 伸びた。時計は1日にどれだけ遅れるか。

(2) この時計を高度 $3200\mathrm{m}$ の山へ持っていくと、重力加速度は地表の何倍になるか。ただし高度 $h$ での重力加速度は地表の値の ${\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2$ 倍である。

(3) (2) の場所では1日にどれだけ遅れるか。

(4) 山の上で正しく動くようにするには、振り子の長さを何 mm 変えればよいか。

長さの違う2つの単振り子 P と Q がある。周期はそれぞれ $T_1=2.0\mathrm{s}$、$T_2=1.6\mathrm{s}$ である。重力加速度の大きさを $g=9.8m/{\mathrm{s}}^2$、円周率を $\pi =3.14$ とする。

いま、2つを同じ側へ同じ角だけ持ち上げ、同時に静かに放す。

(1) それぞれの糸の長さを求めよ。また長さの比を最も簡単な整数の比で答えよ。

(2) 放してから、2つが再び同時に「放したときとまったく同じ状態」になるのはいつか。

(3) そのあいだに、それぞれ何往復するか。

(4) もし2つの周期が $2.00\mathrm{s}$ と $1.98\mathrm{s}$ だったら、(2) の時間はどれくらいになるか。

ある物体が $x$ 方向と $y$ 方向に同時に単振動しているとする。振幅はどちらも $A=0.20\mathrm{m}$、角振動数はどちらも $\omega =5.0rad/s$ で、

$$x=A\sin \omega t,y=A\sin (\omega t+\delta )$$

と書ける。$\delta$ は2つの振動の位相の差である。

(1) $\delta =0$ のとき、物体はどんな軌跡を描くか。

(2) $\delta =\frac{\pi }{2}$ のとき、軌跡を求めよ。またそのときの速さが一定であることを示し、その値を求めよ。

(3) $\delta =\pi$ のとき、軌跡はどうなるか。

(4) $\delta =\frac{\pi }{2}$ のままで、$y$ 方向の振幅だけを $0.10\mathrm{m}$ に変えると軌跡はどうなるか。

ばね定数 $k=60N/m$ の一様なつるまきばねがある。このばねに質量 $m=0.60\mathrm{kg}$ のおもりをつけると、周期 $T_0$ の単振動をした。円周率を $\pi =3.14$ とする。

なお、一様なばねを引くとき、各部分が同じ力で引かれ、伸びは長さに比例して配分される。

(1) $T_0$ を求めよ。

(2) このばねをちょうど半分に切ると、それぞれのばね定数はいくらになるか。理由とともに答えよ。

(3) 半分に切ったばね1本に同じおもりをつけたときの周期は、$T_0$ の何倍か。

(4) 元のばねを長さの比 $1:2$ に切った。それぞれのばね定数を求めよ。またその2本を直列につなぐと、ばね定数がもとに戻ることを確かめよ。

長さ $L=0.99\mathrm{m}$ の単振り子を使って重力加速度 $g$ を測る。長さはものさしで $\pm 1\mathrm{mm}$ の精度で測れ、時間はストップウォッチで測るが、押すタイミングのずれのため測定値には $\pm 0.2\mathrm{s}$ の誤差がつく。周期はおよそ $2.0\mathrm{s}$ である。円周率を $\pi =3.14$ とする。

なお、$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$ で、いくつかの量の積や商で表される量の相対誤差は、各量の相対誤差を(指数の絶対値を掛けて)足し合わせたものになる。

(1) 1往復だけを測って周期とした場合、周期の相対誤差は何 % か。

(2) 10往復ぶんの時間を測って10で割った場合はどうか。

(3) (2) のとき、$g$ の相対誤差は何 % か。長さの誤差も含めて答えよ。

(4) $g$ の相対誤差を $0.5\%$ 以内にするには、最低何往復ぶんを測ればよいか。

あらい水平な床の上に質量 $m=2.5\mathrm{kg}$ の物体を置き、ばね定数 $k=98N/m$ の軽いばねの一端をつなぐ。ばねの他端は壁に固定されている。物体と床のあいだの静止摩擦係数と動摩擦係数は、どちらも $\mu =0.20$ とする。

ばねが自然長のときの物体の位置を原点 O とし、ばねが伸びる向きを正として位置 $x$ をとる。物体を $x=0.42\mathrm{m}$ まで引いて静かにはなす。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) はなしてから最初に折り返すまでの運動は単振動である。その振動の中心の位置と、最初に折り返す位置を求めよ。

(2) 折り返しの位置は半往復するごとにいくら中心に寄るか。また 1 往復に要する時間は、摩擦がないときと変わるか。

(3) 物体が最後に止まる位置と、止まるまでに折り返す回数を求めよ。

(4) 止まるまでに物体が動いた道のりの合計を求めよ。

軽いばね(ばね定数 $k=196N/m$)を鉛直に立て、その上に質量 $M=1.5\mathrm{kg}$ の台を乗せる。さらにその上に質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の小物体を乗せた。台と小物体は接しているだけで、たがいに固定されていない。

全体が静止した位置から台を鉛直下向きに $d$ だけ押し下げ、静かにはなす。以後、台と小物体は一体となって鉛直に単振動を始める。空気の抵抗とばねの質量は無視し、重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 静止しているとき、ばねは自然長から何 m 縮んでいるか。

(2) 小物体が台から離れるのは、台がどの位置にきたときか。理由をつけて答えよ。

(3) 小物体が台から離れるためには、押し下げる距離 $d$ は少なくともいくら必要か。

(4) $d=0.30\mathrm{m}$ とする。小物体が台から離れる瞬間の速さと、離れたあと小物体が離れた位置からさらに何 m 上がるかを求めよ。

長さ $0.80\mathrm{m}$ の軽い糸の一端を点 P に固定し、他端に質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の小球をつけた振り子がある。P の真下 $0.60\mathrm{m}$ の点 Q に細い釘が打ってあり、小球が最下点を通りすぎて糸が左側にくると、糸は釘に引っかかって、それより下の $0.20\mathrm{m}$ の部分だけで振れる。

糸はたるまず、伸び縮みもしないものとする。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 小球を右側に小さく振らせたときの、この振り子の周期を求めよ。$\pi$ を用いた形と、小数第 2 位までの数値の両方で答えよ。

(2) 右側での角振幅を ${\theta }_1$(十分小さい)とする。左側での角振幅 ${\theta }_2$ を求めよ。また左右の水平方向の振れ幅を比べよ。

(3) 小球が最下点を速さ $1.4m/s$ で通過する。釘に引っかかる直前と直後で、糸の張力はそれぞれいくらか。

なめらかな谷の断面が最下点を原点として $y=0.10x^2$($x,y$ の単位は m)で表される。この谷に質量 $m$ の小球を置き、最下点の近くで往復させる。小球は谷面から離れず、摩擦はないものとする。重力加速度の大きさを $9.8m/{\mathrm{s}}^2$ とする。

(1) 最下点から水平に $x$ だけずれた位置で、小球にはたらく力のうち谷面に沿う向きの成分を求めよ。$|x|$ が小さく、接線の傾きが $1$ に比べて小さいとしてよい。

(2) (1) の結果から、この運動が単振動であることを示し、周期を求めよ。周期は質量によるか。振幅によるか。

(3) この谷を、最下点で同じ曲がり方をする円(半径 $R$)で置きかえる。$R$ を求め、長さ $R$ の糸をもつ単振り子の周期と比べよ。

(4) 振幅が $0.20\mathrm{m}$ のとき、最下点を通る速さを求めよ。

質量 $m=0.50\mathrm{kg}$ の物体が、角振動数 $\omega =10rad/s$、振幅 $A=0.20\mathrm{m}$ の単振動をしている。時刻 $t$ での位置は $x=A\sin \omega t$ と表される。

(1) 周期と、振動の全エネルギーを求めよ。

(2) 1 周期のうち、物体が $|x|\le \frac{A}{2}$ の範囲にいる時間は全体のどれだけか。分数で答えよ。

(3) 運動エネルギーの時間平均を求めよ。位置エネルギーの時間平均と比べよ。

(4) 速さの時間平均を求めよ。またそれは最大の速さの何倍か。

ばね定数 $k=100N/m$、自然長 $L$、質量 $m_{\mathrm{s}}=0.30\mathrm{kg}$ の一様なばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $m=0.90\mathrm{kg}$ のおもりをつけて、なめらかな水平面上で振動させる。

ばねは全体が一様に伸び縮みし、固定端から距離 $s$ の点の速さはおもりの速さの $\frac{s}{L}$ 倍であるとしてよい。

(1) おもりの速さが $v$ のとき、ばね自身がもつ運動エネルギーを $m_{\mathrm{s}}$ と $v$ で表せ。

(2) 系全体の運動エネルギーを $\frac{1}{2}{m}_{\text{eff}}{v}^2$ の形に書いたときの $m_{\text{eff}}$(有効質量)を求め、この振動の周期を求めよ。

(3) ばねの質量を無視して周期を計算すると、正しい周期より何 $\%$ 小さい値になるか。

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k=100N/m$ のばねにつながれた質量 $M=1.0\mathrm{kg}$ の台が、振幅 $A=0.20\mathrm{m}$ の単振動をしている。

この台の上に、質量 $m=1.0\mathrm{kg}$ の物体を、水平方向の速度を与えずにそっと乗せる。台と物体のあいだの摩擦は十分に大きく、乗せた物体はごく短い時間で台の上ですべらなくなり、以後は台と一体になって運動するものとする。台と水平面のあいだの摩擦は無視する。

(1) 物体を乗せる前の、台の周期・最大の速さ・振動の全エネルギーを求めよ。

(2) 台が振動の中心を通過する瞬間に物体を乗せた。乗せた直後の速さと、その後の周期・振幅・全エネルギーを求めよ。

(3) 台が振動の端で一瞬止まった瞬間に物体を乗せた。その後の周期・振幅・全エネルギー・最大の速さを求めよ。

(4) (2) と (3) で全エネルギーに差が出る理由を述べよ。

断面積 $S=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^2$ の水平なシリンダーに、なめらかに動く質量 $m=1.0\mathrm{kg}$ のピストンで気体を閉じこめる。シリンダーの外側は大気(圧力 $P_0=1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$)に開いている。

はじめ気体の圧力は $P_0$、体積は $V_0=1.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ で、ピストンは静止している。ここでピストンを外向きに $x$ だけずらして静かにはなす。$x$ は気柱の長さ $\frac{V_0}{S}$ に比べて十分小さいとする。

(1) 気体の温度がつねに一定に保たれるとする。ピストンが $x$ だけずれたときの気体の圧力を求め、$|x|$ が小さいときの近似を使って、ピストンにはたらく力が復元力になることを示せ。ばね定数にあたる量を $P_0,S,V_0$ で表せ。

(2) (1) のばね定数の値と、ピストンの振動の周期を求めよ。

(3) 実際には振動が速いと熱の出入りが間に合わず、断熱変化 $P{V}^{\gamma }=$(一定)とみなすほうが正しい。$\gamma =1.4$ として、このときのばね定数と周期を求めよ。