斜面上のばね振り子

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 斜面版でも考え方は鉛直ばねと同じである。重力の斜面方向成分 $mg\sin \theta$ が「実効的な重力」となって中心をずらす。ただし復元力の強さ $k$ は変わらないので、周期も変わらない。

① つり合いの縮み。

$$k{x}_0=mg\sin 30°⟹x_0=\frac{0.20\times 9.8\times 0.5}{9.8}=0.10\mathrm{m}$$

② 周期。 つり合い位置を中心とする単振動で、周期は水平・鉛直と同じ

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{0.20}{9.8}}=2\pi \sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{2\pi }{7}=0.90秒$$

まとめ水平($\theta =0$)・斜面・鉛直($\theta =90°$)は、$mg\sin \theta$ の大きさが違うだけの同じ問題である。傾きは中心の位置だけを変え、周期には一切影響しない。「ばね振り子の周期は $m$ と $k$ だけ」という原則が、斜面でも成り立つことを確かめる問題である。

別解

θ を動かして統一的に見るルート。 つり合いの縮み $x_0=\frac{mg\sin \theta }{k}$ は $\theta =0$ で 0(水平)、$\theta =90°$ で $\frac{mg}{k}$(鉛直)となり、鉛直ばねの伸びの結果を含む。

周期はどの $\theta$ でも $2\pi \sqrt{m/k}$。1 つの式で 3 つの設定(水平・斜面・鉛直)をまとめて扱える。文字 $\theta$ のまま考えるのは、そのためである。