谷の曲がり具合が周期を決める

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振り子の周期が糸の長さで決まることは知っている。では、糸のない谷ではどうなるか。

答えを先に言えば「底の曲がり具合」である。どんな形の谷でも、底のごく近くでは放物線で近似できる。だから底での曲がり方だけが周期を決める。

やることは 1 つで、戻そうとする力を $x$ の 1 次まで書き、$a=-{\omega }^{2}x$ の形になるかを確かめることである。

① 谷面に沿う力。 位置 $x$ での谷面の傾きは

$$y^{\prime }=0.20x$$

斜面の傾き角を $\theta$ とすると $\tan \theta =y^{\prime }$ である。重力のうち谷面に沿う成分は $mg\sin \theta$ で、向きは坂を下る側、つまり最下点へ戻る向きである。

$|x|$ が小さいと $\theta$ も小さく、$\sin \theta \approx \tan \theta =0.20x$ と扱ってよい。また、谷に沿って測った距離も水平の $x$ でよい。

$$F\approx -mg\cdot 0.20x$$

負号は「ずれと逆向き」を表す。

② 単振動と周期。 運動方程式に入れる。

$$ma=-0.20mgx⟹a=-(0.20g)x$$

$a=-{\omega }^{2}x$ の形だから単振動である。

$${\omega }^2=0.20\times 9.8=1.96⟹\omega =1.4rad/s$$

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{1.4}=\frac{10\pi }{7}\approx 4.5\mathrm{s}$$

質量 $m$ は両辺から消えたので、周期は質量によらない。また $x$ の 1 次だけが残ったので、振幅にもよらない。

③ 曲率半径との関係。 半径 $R$ の円の底の部分は

$$y=R-\sqrt{R^2-x^2}\approx \frac{x^2}{2R}$$

と書ける。これを $y=0.10x^2$ と比べると

$$\frac{1}{2R}=0.10⟹R=5.0\mathrm{m}$$

一方、長さ $5.0\mathrm{m}$ の単振り子の周期は

$$T=2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}=2\pi \sqrt{\frac{5.0}{9.8}}=2\pi \times \frac{5}{7}=\frac{10\pi }{7}$$

② とぴったり一致する。

④ 最下点の速さ。 単振動の最大の速さは $A\omega$ である。

$$v=0.20\times 1.4=0.28m/s$$

まとめ 単振り子の「糸の長さ」の正体は、軌道の曲がり具合である。だから糸がなくても、底の曲率半径さえ分かれば周期が出る。

発展 — 一歩先へ。 振幅を大きくすると $x^2$ 以外の効き方が出てきて、等時性はくずれる。この谷で振幅を $1.0\mathrm{m}$ にすると、周期は微小振動より約 $1\%$ 長くなる。

振幅によらず完全に等時になる曲線もあり、それがサイクロイドである。ホイヘンスはこれを見つけて振り子時計の精度を上げようとした。「等時性は近似にすぎない」と知ったうえで、近似が効く範囲を押さえておきたい。

別解

エネルギーの形から読み取るルート。 力を分解しなくても、エネルギーの式から $\omega$ が読める。

最下点を基準にすると、位置エネルギーは高さ $y$ を使って

$$U=mgy=mg\cdot 0.10x^2=\frac{1}{2}\left(0.20mg\right)x^2$$

これは $\frac{1}{2}K{x}^2$ の形である。ばねの位置エネルギー $\frac{1}{2}k{x}^2$ と見比べると、この谷はばね定数

$$K=0.20mg$$

のばねとして振る舞うと分かる。運動エネルギーは $\frac{1}{2}m{v}^2$ のままだから

$$\omega =\sqrt{\frac{K}{m}}=\sqrt{0.20g}=1.4rad/s$$

力を接線方向と法線方向に分ける手間が要らないぶん、こちらのほうが速い。位置エネルギーが変位の 2 乗に比例していれば、その係数からばね定数にあたる量が読めるという見方は、浮きの振動でも気体の振動でも同じように使える。