物理 / 単振動

鉛直ばねのつり合いの伸び

★ 基礎ばね振り子鉛直ばね

問題

ばね定数 $19.6 N/m$ の軽いばねを天井からつるし、下端に質量 $0.40 kg$ のおもりを付けて静止させた。ばねの自然長からの伸びを求めよ。重力加速度の大きさを $9.8 m/ s^{2}$ とする。

天井からつるしたばねの下端におもりを付けて静止させる

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静止しているのだから、ばねが引く力と重力のつり合いを書くだけ。この位置が次の問題で「振動の中心」として主役になる。

解答・解説

つり合い kx₀=mg より x₀=mg/k。この「つり合いの位置」が、鉛直ばね振り子の振動の中心になる(次問)。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 静止状態のつり合いの計算だが、単振動の文脈では特別な意味を持つ。この「つり合いの位置」こそが、鉛直ばね振り子の振動の中心になるからである。

① つり合いの式。

$k x_{0} = m g ⟹ x_{0} = \frac{m g}{k} = \frac{0.40 \times 9.8}{19.6} = \frac{3.92}{19.6} = 0.20 m$

まとめ 鉛直ばねでは、おもりは自然長の位置ではなく、つり合いの位置を中心に振動する(b09・s04)。「まずつり合いの伸び $x_{0} = m g / k$ を出す」のが鉛直ばねの第一手として定型化しておくと、以降の問題の見通しが良くなる。

答

$0.20 m$

単位から式を組むルート。 求める伸び [m] は、力 [N] をばね定数 [N/m] で割った形しかない。ぶら下がる力は重力 $m g = 3.92 N$ 、割って $3.92/19.6 = 0.20 m$ 。

$k = 19.6 N/m$ は「1 m 伸ばすのに 19.6 N」の意味だから、 $3.92 N$ ではその $\frac{1}{5}$ の 0.20 m——比で読む検算も一瞬でできる。