物理 / 単振動

途中から放したときの振幅と位相

★★★★ 難関単振動初期条件エネルギー

問題

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k = 32 N/m$ のばねの一端を壁に固定し、他端に質量 $m = 2.0 kg$ の物体をつないだ。

物体をつり合いの位置から $x_{0} = 0.30 m$ だけ引き、そこで手を放すと同時に、さらに壁から遠ざかる向きに速さ $v_{0} = 1.6 m/s$ を与えた。

(1) この振動の角振動数と周期を求めよ。

(2) 振幅を求めよ。

(3) 振動中の最大の速さと最大の加速度を求めよ。

(4) つり合いの位置を原点、遠ざかる向きを正として $x = A sin (ω t + φ)$ と書くとき、 $tan φ$ を求めよ。

つり合いの位置から x0 だけ引き、手を放すと同時に外向きに v0 を与える

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振幅とは「速さが 0 になる位置」のことである。いま持っているエネルギーがすべて位置エネルギーに変わったとき、どこまで伸びるか。位相は、時刻 0 での位置と速度の両方から決まる。

解答・解説

方針

端で放す問題なら振幅はすぐ分かるが、途中で速さを与えられると振幅が変わる。エネルギー保存で「与えたぶんも含めた全エネルギー」を出し、それを ½kA² と等しいとおけば振幅が決まる。位相は x と v の初期値から sin と cos を別々に読む。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 端で静かに放す問題なら、放した位置がそのまま振幅である。ところがここでは途中で速さを与えているので、振幅はもっと大きくなる。

そこで エネルギーで測る。振幅とは「速さが $0$ になる位置」、つまり全エネルギーがすべて位置エネルギーに変わりきる場所である。いま持っている位置エネルギーと運動エネルギーの和を $\frac{1}{2} k A^{2}$ と等しいとおけば $A$ が出る。

位相のほうは、時刻 $0$ での位置と速度の両方が要る。位置から $sin φ$ 、速度から $cos φ$ が読めるので、その比が $tan φ$ になる。未知数が2つ( $A$ と $φ$ )なので、初期条件も2つ要る という対応である。

① 角振動数と周期。

$ω = \frac{k}{m} = \frac{32}{2.0} = 16 = 4.0 rad/s$

$T = \frac{2 π}{ω} = \frac{2 π}{4.0} = \frac{π}{2} ≒ 1.6 s$

② 振幅。 全エネルギーは、手を放した瞬間の位置エネルギーと運動エネルギーの和である。

$E = \frac{1}{2} k x_{0}^{2} + \frac{1}{2} m v_{0}^{2} = \frac{1}{2} \times 32 \times 0.3 0^{2} + \frac{1}{2} \times 2.0 \times 1. 6^{2} = 1.44 + 2.56 = 4.0 J$

振幅の位置では速さが $0$ なので、全部が位置エネルギーになっている。

$\frac{1}{2} k A^{2} = 4.0 ⟹ A^{2} = \frac{8.0}{32} = 0.25 ⟹ A = 0.50 m$

公式単振動のエネルギー

E = \frac{1}{2} k A^{2}

。途中の位置と速さから

A

を出すときの橋渡しになる

③ 最大の速さと加速度。

$v_{m a x} = A ω = 0.50 \times 4.0 = 2.0 m/s$

$a_{m a x} = A ω^{2} = 0.50 \times 16 = 8.0 m/ s^{2}$

④ 初期位相。 $x = A sin (ω t + φ)$ とすると $v = A ω cos (ω t + φ)$ である。 $t = 0$ を入れて

$x_{0} = A sin φ ⟹ sin φ = \frac{0.30}{0.50} = 0.60$

$v_{0} = A ω cos φ ⟹ cos φ = \frac{1.6}{0.50 \times 4.0} = 0.80$

$sin^{2} φ + cos^{2} φ = 0.36 + 0.64 = 1$ となり、つじつまが合っている。よって

$tan φ = \frac{0.60}{0.80} = 0.75$

$φ ≒ 3 7^{\circ}$ である。

速度を ω で割ると長さの物差しになる。x0 と v0/ω を2辺とする直角三角形の斜辺が振幅で、角が初期位相

まとめ 振幅はエネルギーで、位相は初期の位置と速度の比で決まる。 $x_{0}$ 、 $\frac{v _{0}}{ω}$ 、 $A$ が $0.30 : 0.40 : 0.50$ の直角三角形をなしているのが、この問題の見どころである。

発展 — 一歩先へ。 ②で使った $A = x_{0}^{2} + (\frac{v _{0}}{ω})^{2}$ という形は、 $(x, \frac{v}{ω})$ という平面上で、点が原点から距離 $A$ の円周上を回っていることを意味している。

実際、時刻を進めると $x = A sin (ω t + φ)$ 、 $\frac{v}{ω} = A cos (ω t + φ)$ なので、この点は半径 $A$ の円を等速で回る。単振動は、この平面での等速円運動の影 だと読める。円運動の正射影という見方の、もうひとつの現れ方である。

答

(1) $ω = 4.0 rad/s$ 、 $T = \frac{π}{2} ≒ 1.6 s$ (2) $A = 0.50 m$ (3) 最大の速さ $2.0 m/s$ 、最大の加速度 $8.0 m/ s^{2}$ (4) $tan φ = 0.75$

別解

$v = ω A^{2} - x^{2}$ を使って一発で出すルート。 エネルギーの式を経由せず、速さと位置の関係を覚えていれば②は1行で済む。

$v_{0} = ω A^{2} - x_{0}^{2}$

$1.6 = 4.0 \times A^{2} - 0.09 ⟹ A^{2} - 0.09 = 0.40$

$A^{2} = 0.09 + 0.16 = 0.25 ⟹ A = 0.50 m$

この式を $A = x_{0}^{2} + (\frac{v _{0}}{ω})^{2}$ と書き直すと、 $x_{0}$ と $\frac{v _{0}}{ω}$ を2辺とする直角三角形の斜辺が $A$ という形になる。

$0.3 0^{2} + 0.4 0^{2} = 0.5 0^{2}$

$3 : 4 : 5$ である。速度を $ω$ で割ると長さの次元になり、位置と同じ物差しで測れるようになる。この「 $\frac{v}{ω}$ を長さとみる」感覚をもっておくと、初期条件から振幅を出す計算がいつでも三平方の定理に化ける。

位相についても、この直角三角形の角がそのまま $φ$ である。 $tan φ = \frac{x _{0}}{v _{0} / ω} = \frac{0.30}{0.40} = 0.75$ と、④の答えが図から直接読める。

ポイント

振幅はエネルギーで決まる。 $\frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} k x_{0}^{2} + \frac{1}{2} m v_{0}^{2}$
$A = x_{0}^{2} + (v_{0} / ω)^{2}$ 。 $v / ω$ を長さとみると三平方の定理になる
位相は初期の位置と速度の両方から。 $sin φ$ と $cos φ$ を別々に読む

よくある間違い

手を放した位置 $0.30 m$ をそのまま振幅としてしまう。速さを与えているので振幅は大きくなる
速度をそのまま位置と足して $A = x_{0} + v_{0}$ としてしまう。次元が合わない。 $v_{0} / ω$ に直してから合成する
位相を $sin φ$ だけで決めてしまう。 $sin φ = 0.6$ を満たす角は2つあるので、 $cos$ の符号まで見る