垂直な2つの単振動を重ねると

方針

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 2つの式に共通して入っているのは時刻 $t$ である。$t$ を消去して $x$ と $y$ の関係だけにすれば、軌跡の式が出る。

消し方は位相差によって変わる。$\delta =0$ や $\pi$ なら $y$ が $x$ の定数倍になるので直線。$\delta =\frac{\pi }{2}$ なら $y$ が $\cos$ に変わるので、${\sin }^2+{\cos }^2=1$ が使えて円の式になる。

円になるということは、単振動を2つ直角に重ねると円運動が作れるということである。円運動の影が単振動になる、という関係を逆からたどっていることになる。

① $\delta =0$ のとき。 $y=A\sin \omega t=x$ なので

$$y=x$$

原点を通る傾き $1$ の直線上を、$-A\sqrt{2}$ から $A\sqrt{2}$ のあいだで振動する。

② $\delta =\frac{\pi }{2}$ のとき。 $\sin \left(\omega t+\frac{\pi }{2}\right)=\cos \omega t$ だから

$$x=A\sin \omega t,y=A\cos \omega t$$

それぞれ $A$ で割って2乗し、足すと

$${\left(\frac{x}{A}\right)}^2+{\left(\frac{y}{A}\right)}^2={\sin }^2\omega t+{\cos }^2\omega t=1$$

$$x^2+y^2=A^2=0.20^2$$

半径 $0.20\mathrm{m}$ の円である。速さを調べる。それぞれを時間で微分した形を使うと

$$v_x=A\omega \cos \omega t,v_y=-A\omega \sin \omega t$$

$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=A\omega \sqrt{{\cos }^2\omega t+{\sin }^2\omega t}=A\omega$$

$t$ が消えたので速さは一定である。

$$v=A\omega =0.20\times 5.0=1.0m/s$$

つまりこれは等速円運動そのものである。

③ $\delta =\pi$ のとき。 $\sin (\omega t+\pi )=-\sin \omega t$ だから

$$y=-A\sin \omega t=-x$$

$$y=-x$$

①と傾きが逆の直線になる。

④ 振幅が違うとき。 $x=0.20\sin \omega t$、$y=0.10\cos \omega t$ なので

$${\left(\frac{x}{0.20}\right)}^2+{\left(\frac{y}{0.10}\right)}^2=1$$

$x$ 方向に $0.20\mathrm{m}$、$y$ 方向に $0.10\mathrm{m}$ の楕円になる。このとき速さは一定ではなく、長軸の端(振幅の大きい向きの端)で最も遅くなる。

まとめ位相差を $0$ から $\pi$ まで変えていくと、軌跡は「直線 → 楕円 → 円 → 楕円 → 直線」と移り変わる。どれも $t$ を消去するだけで出てくる。円運動が2つの単振動でできている、という見方はここから来る。

発展。 一般の位相差 $\delta$ では、軌跡は

$$x^2-2xy\cos \delta +y^2=A^2{\sin }^2\delta$$

という傾いた楕円になる。$\delta =0,\pi$ で右辺が $0$ になり、楕円がつぶれて直線になる。

さらに $x$ と $y$ の角振動数の比を $1:2$、$2:3$ などに変えると、軌跡は複雑な閉じた模様になる。リサージュ図形と呼ばれ、オシロスコープに2つの信号を入れて図形の形から振動数の比を読み取る、という使い方をされてきた。図形が閉じるかどうかで、比が有理数か無理数かも見分けられる。

別解

円運動の影として逆から見るルート。 式を変形せずに、円運動の正射影の関係を逆にたどってもよい。半径 $A$ の円周上を角速度 $\omega$ で回る点を考える。時刻 $t$ での位置は

$$(A\cos \omega t,A\sin \omega t)$$

この点の $x$ 座標も $y$ 座標もそれぞれ振幅 $A$、角振動数 $\omega$ の単振動である。そして $\cos$ と $\sin$ は位相が $\frac{\pi }{2}$ ずれている。つまり等速円運動を2つの軸に映すと、位相が $\frac{\pi }{2}$ ずれた同じ振幅の単振動が2つ得られる。 ②はこの逆をたどっただけである。

この見方だと ④ もすぐ分かる。円を $y$ 方向に $\frac{1}{2}$ 倍に押しつぶせば楕円になり、$y$ 座標の振幅だけが半分になる。楕円は円を一方向に縮めたもの、という対応がそのまま答えである。

①③についても、円がつぶれきって線分になった極限と読める。位相差が「円をどれだけつぶすか」を決めるつまみになっている。