振動する物体はどこで時間を過ごすか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振動では、物体は端の近くでゆっくり、中心付近で速く動く。だから「どこにいる時間が長いか」には偏りがある。

時間の割合を出すには、位置の話を時刻の話に翻訳するのが早い。$x=A\sin \omega t$ を逆に読んで、条件を満たす時刻の区間を測ればよい。

エネルギーの平均は、正弦と余弦の 2 乗の平均を知っていれば計算がいらない。速さの平均も、定義(道のり ÷ 時間)に戻れば一瞬で出る。

① 周期とエネルギー。 周期は

$$T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{10}\approx 0.63\mathrm{s}$$

速さは $v=A\omega \cos \omega t$ で、最大の速さは $A\omega =0.20\times 10=2.0m/s$ である。全エネルギーは、中心を通る瞬間の運動エネルギーに等しい。

$$E=\frac{1}{2}m(A\omega {)}^2=\frac{1}{2}\times 0.50\times 2.0^2=1.0\mathrm{J}$$

② 中心付近にいる時間。 条件を時刻に翻訳する。

$$|A\sin \omega t|\le \frac{A}{2}⟺|\sin \omega t|\le \frac{1}{2}$$

$\theta =\omega t$ とおくと、$\theta$ は 1 周期のあいだに $0$ から $2\pi$ まで一定の速さで増える。だから時間の割合は、そのまま $\theta$ の区間の長さの割合になる。

$|\sin \theta |\le \frac{1}{2}$ となるのは

$$0\le \theta \le \frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\le \theta \le \frac{7\pi }{6},\frac{11\pi }{6}\le \theta \le 2\pi$$

長さを足すと $\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6}=\frac{2\pi }{3}$ である。

$$\frac{2\pi /3}{2\pi }=\frac{1}{3}$$

真ん中の半分の幅に、時間の 3 分の 1 しかいない。残りの 3 分の 2 は外側で過ごしている。

③ エネルギーの時間平均。 運動エネルギーは

$$K=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m(A\omega {)}^2{\cos }^2\omega t$$

したがって

$$⟨K⟩=\frac{1}{2}\times 1.0=0.50\mathrm{J}$$

位置エネルギーは $U=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2\omega t$ だから、同じ理由で $⟨U⟩=0.50\mathrm{J}$ である。

2 つの平均は等しく、それぞれ全エネルギーのちょうど半分になる。

④ 速さの時間平均。 定義に戻る。1 周期のあいだに物体が動く道のりは、端から端へ 2 回ぶんで $4A$ である。

$$⟨|v|⟩=\frac{4A}{T}=\frac{4A\omega }{2\pi }=\frac{2A\omega }{\pi }=\frac{4}{\pi }\approx 1.3m/s$$

最大の速さ $2.0m/s$ と比べると

$$\frac{⟨|v|⟩}{A\omega }=\frac{2}{\pi }\approx 0.64$$

まとめ 単振動の「平均」は、どの量の平均かで値が変わる。速さの平均は最大の $\frac{2}{\pi }$ 倍、2 乗の平均から出る速さは $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 倍(約 $0.71$ 倍)で、一致しない。平均をとる前に「何を、どの重みで平均するのか」を決めておきたい。

発展 — 一歩先へ。 等しい時間ごとに物体の位置を打点すると、点は端の近くに混み合う。端では速さが $0$ になるので、そこに長くとどまるからである。

滞在時間の分布は $\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ に比例し、端で急に大きくなる。量子力学で調和振動子を扱うと、エネルギーの高い状態ほど、粒子の存在確率の分布がこの古典的な形に近づく。これは対応原理とよばれる考え方の、いちばん見やすい例である。

別解

円運動の影で見るルート。 単振動は、等速円運動を横から見た影である。半径 $A$ の円周上を一定の速さで回る点を考え、その位置の一方の座標を $x$ とする。

円周上の点は一定の速さで回るので、時間の割合は中心角の割合に等しい。あとは「$|x|\le \frac{A}{2}$ となるのは円周のどの部分か」を数えるだけである。

$x$ が $\pm \frac{A}{2}$ になるのは、円周を 12 等分する目盛りにちょうど当たる位置である。そこで切られる 4 つの弧を合わせると、円周の $\frac{1}{3}$ になる。

端に長くいる理由も、この絵で見える。円周上の点が端の近くを通るとき、点は動いていても影はほとんど動かない。逆に中心付近では、影が円周上の点と同じ速さで走る。

「円周上では時間が均等、影に落とすと不均等」という一言で、この問題の全体像が説明できる。