物理 / 単振動

気体をばねにする

最難関編単振動気体の法則断熱変化

問題

断面積 $S = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{2}$ の水平なシリンダーに、なめらかに動く質量 $m = 1.0 kg$ のピストンで気体を閉じこめる。シリンダーの外側は大気(圧力 $P_{0} = 1.0 \times 1 0^{5} Pa$ )に開いている。

はじめ気体の圧力は $P_{0}$ 、体積は $V_{0} = 1.0 \times 1 0^{- 3} m^{3}$ で、ピストンは静止している。ここでピストンを外向きに $x$ だけずらして静かにはなす。 $x$ は気柱の長さ $\frac{V _{0}}{S}$ に比べて十分小さいとする。

水平なシリンダーに気体を閉じこめる。ピストンを外向きに x だけずらしてはなす。

(1) 気体の温度がつねに一定に保たれるとする。ピストンが $x$ だけずれたときの気体の圧力を求め、 $∣ x ∣$ が小さいときの近似を使って、ピストンにはたらく力が復元力になることを示せ。ばね定数にあたる量を $P_{0}, S, V_{0}$ で表せ。

(2) (1) のばね定数の値と、ピストンの振動の周期を求めよ。

(3) 実際には振動が速いと熱の出入りが間に合わず、断熱変化 $P V^{γ} =$ (一定)とみなすほうが正しい。 $γ = 1.4$ として、このときのばね定数と周期を求めよ。

ヒントを見る

体積が少し変わると圧力はどれだけ変わるか。力の式を $x$ の 1 次まで書いたとき、どんな形になるかを見たい。断熱でも、変わるのは 1 か所だけである。

解答・解説

方針

閉じこめた気体は、押されると圧力が上がって押し返す。だから気体もばねとしてはたらく。圧力を変位 $x$ で表し、 $x$ の 1 次まで展開して力を書けば、 $- (定数) \times x$ の形が見える。断熱では指数が $γ$ になるだけで、手順は同じである。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ばね定数とは「変位 $1$ あたりに戻ろうとする力」である。金属のばねでなくても、力がこの形になれば単振動になる。

閉じこめた気体は、押されれば圧力が上がって押し返し、引かれれば圧力が下がって引き戻す。まさにばねである。

やるべきことは、圧力を変位 $x$ の式で書き、力を $x$ の 1 次まで展開することである。使う近似は $\frac{1}{1 + u} \approx 1 - u$ ( $∣ u ∣$ が小さいとき)だけでよい。

① 温度一定のときの圧力。 温度が一定なら $P V = P_{0} V_{0}$ が成り立つ。ピストンを外向きに $x$ ずらすと体積は $V_{0} + S x$ になるから

$P = \frac{P _{0} V _{0}}{V _{0} + S x} = \frac{P _{0}}{1 + \frac{S x}{V _{0}}} \approx P_{0} (1 - \frac{S x}{V _{0}})$

体積が増えたぶんだけ圧力が下がる。

② 力の形。 ピストンには、内側の気体が押す力 $P S$ (外向き)と、外の大気が押す力 $P_{0} S$ (内向き)がはたらく。外向きを正として

$F = P S - P_{0} S = (P - P_{0}) S \approx - \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}} x$

$- (定数) \times x$ の形になった。つまりピストンは単振動する。

重要力が「

- (定数) \times

変位」の形になれば単振動。その定数がばね定数にあたる

$k = \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}}$

③ 値と周期。 数値を入れる。

$k = \frac{1.0 \times 1 0 ^{5} \times ( 1.0 \times 1 0 ^{- 3} ) ^{2}}{1.0 \times 1 0 ^{- 3}} = 100 N/m$

$T = 2 π \frac{m}{k} = 2 π \frac{1.0}{100} = 0.20 π \approx 0.63 s$

④ 断熱のとき。 $P V^{γ} = P_{0} V_{0}^{γ}$ を使う。

$P = P_{0} (\frac{V _{0}}{V _{0} + S x})^{γ} = P_{0} (1 + \frac{S x}{V _{0}})^{- γ} \approx P_{0} (1 - γ \frac{S x}{V _{0}})$

公式

∣ u ∣

が小さいとき

(1 + u)^{- γ} \approx 1 - γ u

力の計算はさきほどと同じで、係数だけが $γ$ 倍になる。

$k^{'} = γ \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}} = 1.4 \times 100 = 140 N/m$

$T^{'} = 2 π \frac{1.0}{140} \approx 0.53 s$

熱を逃がさないほうが気体は硬くなり、振動は速くなる。

まとめ 気体は立派なばねである。ばね定数は $\frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}}$ で、気柱が短いほど(体積が小さいほど)硬い。自転車の空気入れを押しこむほど反発が強くなるのは、この $V_{0}$ が分母にいるからである。

発展 — 一歩先へ。 音は空気の圧縮と膨張が伝わる現象で、これも速すぎて熱の出入りが間に合わない。

ニュートンは音速を等温として計算し、実測より小さい値を得た。ラプラスが断熱として計算し直すと、ちょうど $γ$ 倍だけ大きくなり実測と合った。

ここで周期が $1/ γ$ 倍になったのと同じ因子である。「気体の硬さは、熱が逃げるかどうかで $γ$ 倍変わる」という 1 つの事実が、ピストンの振動と音速の両方を説明している。

答

$k = \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}} = 100 N/m$ で $T \approx 0.63 s$ 、断熱では $k = γ \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}} = 140 N/m$ で $T \approx 0.53 s$

別解

$P$ - $V$ グラフの傾きで読むルート。 ばね定数は「体積を少し変えたとき、圧力がどれだけ変わるか」で決まる。式で書けば

$F = (P - P_{0}) S, Δ V = S x$

だから、圧力の変化 $Δ P$ が分かればよい。 $P$ - $V$ グラフの接線の傾きを $\frac{Δ P}{Δ V}$ とすると

$k = - \frac{Δ P}{Δ V} S^{2}$

等温では $P = \frac{P _{0} V _{0}}{V}$ で、 $V = V_{0}$ での傾きは $- \frac{P _{0}}{V _{0}}$ である。これを入れると $k = \frac{P _{0} S ^{2}}{V _{0}}$ となる。

断熱の曲線は同じ点を通るが、傾きがちょうど $γ$ 倍だけ急である。だから硬さも $γ$ 倍、周期は $\frac{1}{γ}$ 倍になる。

同じ点を通っても、断熱の曲線のほうが急である。傾きが γ 倍なので、気体のばねとしての硬さも γ 倍になる。

計算する前に「どちらが急か」がグラフで見えるので、断熱のほうが周期が短くなることを目で確かめてから式に入れる、という進め方ができる。

ポイント

閉じこめた気体はばねとしてはたらき、ばね定数は P0S²/V0
体積が小さいほど硬い(分母に V0 がいる)
断熱では圧力の変化率が γ 倍になり、ばね定数も γ 倍
周期は 1/√γ 倍に短くなる

よくある間違い

気体の圧力だけを見て、大気が押し返す力を忘れる(復元力は差で決まる)
1/(1+u) を展開せずに進めて、力が変位の 1 次にならない
断熱で温度が変わることを気にして状態方程式を持ち出す(必要なのは PVᵞ が一定という関係だけ)