振り子で重力加速度を測る — 何往復数えるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 ストップウォッチの誤差 $\pm 0.2\mathrm{s}$ は、1往復を測っても100往復を測っても同じ大きさ でつく。押し始めと押し終わりの2回しか押さないからである。

ということは、長い時間を測ってその回数で割れば、周期1回あたりの誤差は小さくなる。$n$ 往復ぶんを測れば誤差は $\frac{1}{n}$ になる。これが「まとめて測る」ことの意味である。

もうひとつの要点は、$g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$ で $T$ が 2乗 で入っていること。周期の相対誤差は2倍になって $g$ に伝わる。2乗で効く量は、精度もそのぶん厳しく要求される。

① 1往復だけ測る。 測定値は $2.0\pm 0.2\mathrm{s}$ である。

$$\frac{\Delta T}{T}=\frac{0.2}{2.0}=0.10=10\%$$

② 10往復ぶんを測る。 測定値は $20.0\pm 0.2\mathrm{s}$。これを10で割ると

$$T=2.00\pm 0.02\mathrm{s}$$

$$\frac{\Delta T}{T}=\frac{0.02}{2.00}=0.010=1\%$$

測る手間はほとんど変わらないのに、精度は10倍になった。

③ $g$ の相対誤差。 $g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$ で、$L$ は1乗、$T$ は $-2$ 乗である。

$$\frac{\Delta g}{g}=\frac{\Delta L}{L}+2\frac{\Delta T}{T}$$

長さの相対誤差は

$$\frac{\Delta L}{L}=\frac{0.001}{0.99}=0.0010=0.10\%$$

したがって

$$\frac{\Delta g}{g}=0.10\%+2\times 1\%=2.1\%$$

時間の誤差が圧倒的に効いている。 長さをこれ以上ていねいに測っても、ほとんど改善しない。

なお測定値そのものは

$$g=\frac{4\times 3.14^2\times 0.99}{2.00^2}=9.77m/{\mathrm{s}}^2$$

で、誤差は $9.77\times 0.021\fallingdotseq 0.21$ だから $9.8\pm 0.2m/{\mathrm{s}}^2$ と書ける。

④ $0.5\%$ 以内にする。 長さの誤差 $0.10\%$ はどうにもならないので、時間のぶんを $0.4\%$ 以内にすればよい。

$$2\times \frac{\Delta T}{T}\le 0.004⟹\frac{\Delta T}{T}\le 0.002$$

$n$ 往復ぶんを測ると $\Delta T=\frac{0.2}{n}$ だから

$$\frac{0.2/n}{2.0}\le 0.002⟹\frac{0.1}{n}\le 0.002⟹n\ge 50$$

50往復、時間にして約100秒である。これで $g$ が $0.5\%$、およそ $\pm 0.05m/{\mathrm{s}}^2$ の精度で求まる。

まとめ 同じ道具でも、測り方を変えるだけで精度は桁で変わる。押す誤差が回数によらないことを使って $\frac{1}{n}$ に薄め、2乗で効く量には人一倍気を配る。この2つが測定の基本になる。

発展 — 一歩先へ。 「まとめて測って割る」は、系統的なずれを薄める一般的な手口である。同じ考えは、気柱の共鳴で第1共鳴点と第2共鳴点の 差 をとると開口端補正が消える、という話にも現れる。

一方で、この方法にも限界がある。50往復もすると振幅が空気抵抗で目に見えて減る。振幅が小さくなると周期はごくわずかに短くなるので、回数を増やしすぎると別の系統誤差が入ってくる。 精度を上げる工夫は、どこかで別の誤差とぶつかる。

別解

絶対誤差のまま追いかけるルート。 相対誤差の公式を使わず、値そのもので上下の幅を計算しても確かめられる。

②の場合、周期は $1.98\mathrm{s}$ から $2.02\mathrm{s}$ のあいだにある。それぞれで $g$ を計算すると

$$g_{\text{上}}=\frac{4{\pi }^2\times 0.99}{1.98^2}=9.97,g_{\text{下}}=\frac{4{\pi }^2\times 0.99}{2.02^2}=9.58$$

幅は $9.97-9.58=0.39$、中心の値 $9.77$ に対して片側 $0.195$ である。

$$\frac{0.195}{9.77}=0.020=2.0\%$$

長さの $0.1\%$ を足して $2.1\%$ となり、③と一致する。

周期を小さくしたほうが $g$ が大きく出る ことも、この計算なら符号を含めて見える。$T$ が分母の2乗にあるからである。

相対誤差の公式は速いが、「なぜ2倍か」を実感しにくい。1度はこのように両端を計算して、幅が確かに2倍になっていることを確かめておくとよい。