物理 / 単振動

エネルギー保存で途中の速さを求める

★★ 標準単振動のエネルギー

問題

ばね定数 $20 N/m$ のばねに質量 $0.20 kg$ の物体をつけた水平ばね振り子が、振幅 $0.30 m$ で振動している。変位が $x = 0.18 m$ のときの物体の速さを求めよ。

振幅 0.30 の振動の、x=0.18 での速さを求める

ヒントを見る

全エネルギー ½kA² から、その位置の弾性エネルギー ½kx² を引いた残りが運動エネルギー。A²−x² の計算は、0.30 と 0.18 の比が 5:3 であることに気づくと平方根が暗算になる。

解答・解説

方針

エネルギー保存 ½mv²+½kx²=½kA² から v=√(k/m)·√(A²−x²)=ω√(A²−x²)。0.18:0.24:0.30 の 3:4:5 に気づくと速い。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 途中の速さはエネルギー保存の 1 本で出る(b12 の一般式)。

$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$

① v について解く。

$v = \frac{k}{m} A^{2} - x^{2} = ω A^{2} - x^{2}$

② 代入する。 $ω = 20/0.20 = 10 rad/s$ 。

$A^{2} - x^{2} = 0.3 0^{2} - 0.1 8^{2} = 0.090 - 0.0324 = 0.0576 = 0.2 4^{2}$

$v = 10 \times 0.24 = 2.4 m/s$

まとめ $0.18 : 0.24 : 0.30 = 3 : 4 : 5$ —— $x$ 、 $A^{2} - x^{2}$ 、 $A$ は直角三角形の 3 辺の関係にある。これは円運動の影の図で「半径 $A$ 、横 $x$ 、縦 $A^{2} - x^{2}$ 」に対応しており、 $v = ω A^{2} - x^{2}$ という公式の幾何的な意味でもある。

答

$2.4 m/s$

別解

円運動の影で出すルート。 影が $x = 0.18$ にいるとき、もとの円運動の物体は半径 $0.30$ の円周上、壁からの奥行き $0.3 0^{2} - 0.1 8^{2} = 0.24$ の位置にいる。影の速さは円運動の速さ $A ω = 3.0$ のうち壁に平行な成分で、その割合は $\frac{0.24}{0.30}$ 。

$v = 3.0 \times \frac{0.24}{0.30} = 2.4 m/s$

エネルギーを使わずに、相似な三角形だけで同じ答えに着く。

ポイント

v=ω√(A²−x²)
x・√(A²−x²)・A は直角三角形
3:4:5 に気づくと暗算

よくある間違い

A−x=0.12 を使ってしまう(2 乗の差)
弾性エネルギーを引き忘れて vmax を答える
ω を掛け忘れる