秒振り子の長さ

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 周期から長さを逆算する問題。$T=2\pi \sqrt{L/g}$ を 2 乗して $L$ について解けば、代入 1 回で済む。

① 式を変形する。

$$T^2=4{\pi }^2\frac{L}{g}⟹L=\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}$$

② 代入する。

$$L=\frac{9.8\times 2.0^2}{4\times 9.87}=\frac{39.2}{39.5}=0.993\approx 0.99\mathrm{m}$$

まとめ 「片道 1 秒で振れる振り子の長さは、ほぼぴったり 1 m」。これは偶然ではなく、メートルの定義の候補として秒振り子の長さが検討された歴史の名残である($g\approx {\pi }^2$ という数値の近さがそれを支えている)。$g={\pi }^2$ と覚えておくと、振り子の概算が驚くほど速くなる。

別解

g≈π² の近似で暗算するルート。 $L=\frac{g{T}^2}{4{\pi }^2}$ に $g\approx {\pi }^2$ を入れると

$$L\approx \frac{T^2}{4}=\frac{4.0}{4}=1.0\mathrm{m}$$

誤差 1 % 未満で「1 m」が出る。「周期 2 秒 ↔ 長さ 1 m」を基準点にすれば、$T\propto \sqrt{L}$ でどんな振り子も暗算で見積もれる(例: 25 cm なら 1 秒)。