鉛直ばね振り子の振動の範囲

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 鉛直ばねの問題は、「中心=つり合いの位置」を最初に固定し、あとは中心からの距離だけで考える。自然長・つり合い・放した点の 3 つの位置を数直線に並べるのが実務のコツである。

① 振動の中心。 つり合いの位置、すなわち自然長から $0.20\mathrm{m}$ 伸びた位置。

② 振幅。 放した位置(伸び $0.30\mathrm{m}$)は中心より

$$0.30-0.20=0.10\mathrm{m}下$$

静かに放したのでここが端。よって振幅 $A=0.10\mathrm{m}$。

③ 最高点。 中心から振幅だけ上、つまり伸び

$$0.20-0.10=0.10\mathrm{m}の位置$$

まとめ 「引き下げた量 $0.30$」ではなく「中心からのずれ $0.10$」が振幅——ここが鉛直ばねの最大の落とし穴である。本問の最高点は伸び $0.10\mathrm{m}>0$ でばねはまだ伸びているが、もっと大きく引けば自然長を超えて縮む側まで到達する(そのときも単振動のまま)。

別解

数直線で機械的に処理するルート。 下向きに伸びを測る数直線を描き、自然長 0、中心 0.20、放した点 0.30 を打つ。振動は中心対称だから、端 0.30 の反対の端は

$$0.20-(0.30-0.20)=0.10$$

3 点を打って対称に折り返す——これだけで (1)〜(3) が全部読める。複雑な設定ほど、数直線の絵が事故を防いでくれる。