摩擦のあるばね振り子はどこで止まるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 摩擦があると振動はだんだん小さくなる。ここで「指数関数のようになめらかに減る」と思い込むと行き詰まる。

空気の抵抗は速さに比例するが、床の摩擦は速さによらず大きさが一定である。変わるのは向きだけで、右へ動くか左へ動くかで切りかわる。

だから半往復のあいだ、物体には「ばねの力 + 大きさ一定の力」がはたらく。一定の力が加わったばね振り子は、中心がずれるだけで、やはり単振動である。この見方に立てば、あとは折り返しの位置を追うだけになる。

① 左へ動くあいだの運動。 はじめ物体は $x=0.42\mathrm{m}$ から左へ動きだす。速度が負だから、動摩擦力は右向き、つまり正の向きにはたらく。大きさは

$$\mu mg=0.20\times 2.5\times 9.8=4.9\mathrm{N}$$

運動方程式は $ma=-kx+\mu mg$ である。右辺をまとめると

$$ma=-k\left(x-\frac{\mu mg}{k}\right)$$

これは中心が $x_c=\frac{\mu mg}{k}$ にずれた単振動である。

$$x_c=\frac{4.9}{98}=0.05\mathrm{m}$$

② 最初の折り返し。 出発点 $x=0.42$ は、この中心から $0.42-0.05=0.37\mathrm{m}$ 離れている。静かにはなしたので、これがこの半往復の振幅である。

単振動は中心をはさんで対称だから、反対側の端は中心から同じ $0.37\mathrm{m}$ の位置になる。

$$x=0.05-0.37=-0.32\mathrm{m}$$

③ 半往復ごとの減り方。 次は右へ動くので、摩擦は左向きになり、中心は $x=-0.05\mathrm{m}$ に移る。$-0.32$ からの振幅は $0.27\mathrm{m}$ だから、次の折り返しは $-0.05+0.27=0.22\mathrm{m}$ である。

折り返しの位置は $0.42\to -0.32\to 0.22\to -0.12\to 0.02$ と並ぶ。大きさは毎回同じだけ小さくなり、その値は

$$\frac{2\mu mg}{k}=\frac{2\times 4.9}{98}=0.10\mathrm{m}$$

時間はどうか。どの半往復も同じ $\omega =\sqrt{k/m}$ の単振動で、中心が移るだけである。だから半周期も 1 往復の時間も変わらない。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2\pi \sqrt{\frac{2.5}{98}}\approx 1.0\mathrm{s}$$

④ どこで止まるか。 動いているかぎり振幅は減り続ける。運動が終わるのは、折り返して速さが $0$ になった位置で、ばねの力が最大静止摩擦に負けたときである。

$$k|x|\le \mu mg⟺|x|\le \frac{4.9}{98}=0.05\mathrm{m}$$

折り返しの列を見ると、$-0.12$ まではこの帯の外なので動き続ける。次の $x=0.02\mathrm{m}$ で初めて帯に入る。

$$k|x|=98\times 0.02=1.96\mathrm{N}<4.9\mathrm{N}$$

よって物体は $x=0.02\mathrm{m}$ で止まる。折り返しの回数は 4 回で、かかった時間は半周期 4 つ分、つまり $2T\approx 2.0\mathrm{s}$ である。

⑤ 道のりの合計。 失われた力学的エネルギーは、すべて摩擦がうばった分である。摩擦力の大きさは一定なので、道のり $s$ に対して仕事は $\mu mgs$ と書ける。

$$\frac{1}{2}k(0.42{)}^2-\frac{1}{2}k(0.02{)}^2=\mu mgs$$

$$s=\frac{98\times (0.42^2-0.02^2)}{2\times 4.9}=\frac{98\times 0.176}{9.8}=1.76\mathrm{m}$$

折り返しの位置から $0.74+0.54+0.34+0.14$ と足しても同じ値になる。

まとめ 大きさ一定の摩擦は「中心をずらす力」であって、周期を変えない。振幅は等差数列で減り、ばねの力が静止摩擦に勝てなくなった折り返し点で運動は終わる。

発展 — 一歩先へ。 速さに比例する抵抗(空気の抵抗)なら、振幅は等比数列で減る。等比数列は $0$ にならないので、理屈のうえでは永久に止まらない。床の摩擦は等差数列で減り、有限の時間できっちり止まる。「減り方が等差か等比か」は、身のまわりの振動が何にじゃまされているかを見分ける手がかりになる。

別解

エネルギーの帳簿だけで見るルート。 運動方程式を解かずに、折り返しから次の折り返しまでをエネルギーで追う。

端では速さが $0$ だから、そのときの力学的エネルギーは $\frac{1}{2}k{x}^2$ だけである。連続する 2 つの端の位置を $x_n$、$x_{n+1}$(符号は逆)とすると、そのあいだに物体が動いた道のりは $|x_n|+|x_{n+1}|$ である。

$$\frac{1}{2}k{x}_n^2-\frac{1}{2}k{x}_{n+1}^2=\mu mg\left(|x_n|+|x_{n+1}|\right)$$

左辺は $\frac{k}{2}\left(|x_n|+|x_{n+1}|\right)\left(|x_n|-|x_{n+1}|\right)$ と因数分解できる。両辺の共通因数を払うと

$$|x_n|-|x_{n+1}|=\frac{2\mu mg}{k}$$

「半往復ごとに一定量ずつ減る」が、この 1 行で出る。うまくいくのは、摩擦の仕事が距離の和に、エネルギーの差が 2 乗の差になっていて、両方に同じ和が顔を出すからである。