釘に引っかかる振り子

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 糸が釘に引っかかると長さが変わる。しかし「長さの違う 2 つの振り子を、半分ずつ交代でやっている」と見れば、新しい理論は何も要らない。

ここで効くのが等時性である。単振り子の周期は振幅によらず、長さだけで決まる。だから左右の振れ幅が違っても、半周期は長さだけで決まる。

最下点では速さは連続だが、円の半径だけが急に変わる。向心力の要求が変わるので、張力は跳ぶ。

① 周期。 右側は長さ $L_1=0.80\mathrm{m}$、左側は長さ $L_2=0.20\mathrm{m}$ の単振り子である。

それぞれの半周期を足せばよい。

$$T=\pi \sqrt{\frac{L_1}{g}}+\pi \sqrt{\frac{L_2}{g}}$$

ここで数値がきれいになる。

$$\sqrt{\frac{0.80}{9.8}}=\sqrt{\frac{4}{49}}=\frac{2}{7},\sqrt{\frac{0.20}{9.8}}=\sqrt{\frac{1}{49}}=\frac{1}{7}$$

$$T=\pi \left(\frac{2}{7}+\frac{1}{7}\right)=\frac{3\pi }{7}\approx 1.35\mathrm{s}$$

長さ $0.80\mathrm{m}$ のままなら $2\pi \cdot \frac{2}{7}\approx 1.80\mathrm{s}$ だから、釘のぶんだけ速くなっている。

② 角振幅と振れ幅。 力学的エネルギーは保存するので、左右で最高点の高さは等しい。角振幅が小さいとき、高さは

$$h=L(1-\cos \theta )\approx \frac{1}{2}L{\theta }^2$$

と書ける。左右で $h$ が等しいから

$$L_1{\theta }_1^2=L_2{\theta }_2^2⟹{\theta }_2={\theta }_1\sqrt{\frac{L_1}{L_2}}=2{\theta }_1$$

角度としては 2 倍に開く。一方、水平方向の振れ幅は $L\theta$ だから

$$L_2{\theta }_2=0.20\times 2{\theta }_1=0.4{\theta }_1,L_1{\theta }_1=0.8{\theta }_1$$

左の振れ幅は右の半分である。角度は大きくなるのに、横の広がりは小さくなる。

③ 最下点の張力。 最下点では、糸の張力 $S$ が上向き、重力 $mg$ が下向きで、合力が向心力になる。

速さ $v=1.4m/s$ は釘の前後で変わらない。変わるのは半径だけである。

直前($r=0.80\mathrm{m}$)は

$$S=0.50\times 9.8+\frac{0.50\times 1.4^2}{0.80}=4.9+1.225=6.125\mathrm{N}$$

直後($r=0.20\mathrm{m}$)は

$$S=4.9+\frac{0.50\times 1.96}{0.20}=4.9+4.9=9.8\mathrm{N}$$

半径が $\frac{1}{4}$ になったので、向心力に要る分が 4 倍になり、張力は跳ね上がる。

まとめ 長さが途中で変わる振り子は、長さごとの半周期を足せばよい。これができるのは、周期が振幅によらないからである。速さが連続でも半径が不連続なら、張力は不連続に変わる。

発展 — 一歩先へ。 右側の振れを大きくしていくと、この話は成り立たなくなる。たとえば右側で $60^{\circ }$ から放すと、エネルギーだけで決まる到達点は左の円のはるか上になり、その手前で糸がたるむ。糸はたるむと張力を失い、小球はそこから放物運動に移る。

「等時性が使える」「半周期を足せる」という便利さは、糸が張ったままの小さな振れという条件つきである。条件を外れたとき何が起こるかまで見ておくと、公式の使いどころがはっきりする。

別解

円運動の正射影で見るルート。 単振動を、等速円運動の影として見る立場をとる。

右側の運動は、半径 $L_1{\theta }_1$ の円を一定の速さで回る点の影である。その円を 1 周する時間が $2\pi \sqrt{L_1/g}$ で、影が右端から中央まで進むのは 4 分の 1 周、中央から右端に戻るのがまた 4 分の 1 周である。合わせて半周分の時間が右側の滞在時間になる。

左側も同じで、半周分の時間 $\pi \sqrt{L_2/g}$ を使う。1 往復は「右で半周 + 左で半周」だから、時間もそのまま足し算になる。

この見方の利点は、左右で影の円の大きさが違っても、時間の勘定に一切影響しないことがはっきり見えることである。円の大きさ(=振幅)は回る速さも変えるので、1 周の時間には効かない。等時性の正体はここにある。