物理 / 単振動

鉛直ばね振り子の周期

★ 基礎ばね振り子鉛直ばね

問題

ばね定数 $19.6 N/m$ の軽いばねを天井からつるし、下端に質量 $0.40 kg$ のおもりを付けた。つり合いの位置から少し引き下げて放すと、おもりは鉛直方向に単振動した。振動の周期を求めよ。 $π = 3.14$ とする。

つり合いの位置から少し引き下げて放すと、おもりは上下に振動する

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「重力があるから周期も変わりそう」と思うかもしれないが、周期の式は水平のときと同じになる。√(0.40/19.6)=√(1/49) に気づくときれいに割り切れる。

解答・解説

鉛直でも周期の式は水平ばねと同じ T=2π√(m/k)。重力はつり合い位置(振動の中心)をずらすだけで、周期には影響しない。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 意外に思えるが、鉛直ばね振り子の周期は水平の場合と全く同じ $T = 2 π m / k$ である。重力の仕事は「振動の中心を自然長からつり合いの位置へずらす」ことだけで、復元力の強さ( $k$ )には手を触れない(証明は a02)。

① 代入する。

$T = 2 π \frac{m}{k} = 2 π \frac{0.40}{19.6} = 2 π \frac{1}{49} = \frac{2 π}{7} = 0.898 \approx 0.90 秒$

まとめ 「重力は中心をずらすだけ、周期は変えない」——この事実のおかげで、鉛直ばねの問題は(中心の位置にさえ気をつければ)水平ばねと同じ道具で解ける。 $0.40/19.6 = 1/49 = 1/7$ のように、分数の形に直してから根号を開くのが計算のコツである。

答

$T = 2 π \frac{m}{k} = \frac{2 π}{7} \approx 0.90$ 秒

つり合いの伸びから周期を出すルート(裏技)。 $k x_{0} = m g$ より $\frac{m}{k} = \frac{x _{0}}{g}$ 。つまり

$T = 2 π \frac{x _{0}}{g} = 2 π \frac{0.20}{9.8} = 2 π \frac{1}{49} = 0.90 秒$

つり合いの伸びさえ測れば、k も m も知らずに周期がわかる。実験室でよく使う便利な形で、単振り子の $2 π L / g$ と同じ構造をしているのも面白い。