物理 / 単振動

浮体の振動の文字式

★★★ 応用浮力導出

問題

断面積 $S$ の一様な柱状の物体(質量 $m$ )が、密度 $ρ$ の液体に鉛直に浮かんでつり合っている。これを少し押し沈めて放すと単振動する。(1) つり合いの位置から $x$ 沈めたときの合力(下向きを正)を書け。 (2) 周期 $T$ を $m, ρ, S, g$ で表せ。 (3) $m = 0.98 kg$ 、 $S = 1.0 \times 1 0^{- 2} m^{2}$ 、 $ρ = 1.0 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ 、 $π = 3.14$ として値を確かめよ。

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水に浮かぶ物体の振動の問題でやった数値計算を、今度は最初から文字で組み立てる。つり合いの浮力と重力は相殺するので、書くのは「x 沈めたことで増えた浮力」だけでよい。K にあたる文字の塊が見えたら周期は 1 行。

解答・解説

方針

つり合いからの追加分だけ考えると F=−ρSgx。K=ρSg として T=2π√(m/K)。文字式で作ってから数値検算。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 水に浮かぶ物体の振動の数値問題を、文字式で一般化する。鉛直ばね振り子の中心の証明で示した「つり合いを基準にすれば一定力は消える」を最初から使い、増えた浮力だけを書く。

① 合力。 つり合いから $x$ 沈めると、排水体積が $S x$ 増え、浮力の増加は $ρ \cdot S x \cdot g$ 。もとのつり合い(重力=浮力)は相殺しているから、合力は増加分だけ:

$F = - ρS g x$

② 周期。 $F = - K x$ ( $K = ρS g$ )の単振動だから

$T = 2 π \frac{m}{ρS g}$

③ 数値検算。

$T = 2 π \frac{0.98}{1.0 \times 1 0 ^{3} \times 1.0 \times 1 0 ^{- 2} \times 9.8} = 2 π \frac{0.98}{98} = 2 π \times 0.10 = 0.63 秒$

標準の浮きの問題の結果と一致する。

x 沈めた分の排水体積 Sx が生む浮力 ρSgx が復元力

まとめ文字式 $T = 2 π \frac{m}{ρS g}$ は物理の関係を表している: 重い浮きはゆっくり( $m$ が分子)、太い浮き・濃い液体は速く( $S, ρ$ が分母=水のばねが硬い)。数値だけの答えでは分からない依存関係が、文字式ではまとめて読み取れる。入試の文字式問題が「文字のまま」を要求するのはそのためである。

答

(1) $F = - ρS g x$ (2) $T = 2 π \frac{m}{ρS g}$ (3) $0.63$ 秒(標準の浮きの問題と一致)

別解

極端な場合で式を点検するルート。 導いた式は正しい振る舞いをするか:

$S \to \infty$ (超太い柱): $T \to 0$ 。少し沈めただけで大きな浮力が生じる。とても硬いばねと同じで納得できる
$ρ \to 0$ (液体が薄い): $T \to \infty$ 。復元力がほとんどない。柔らかいばねと同じで納得できる
$m$ 4 倍で $T$ 2 倍になる。ばね振り子の質量を変える問題と同じ構造である

文字式を出したら極端な値で「物理として変でないか」を確かめる。この点検は導出ミス(上下逆など)を高確率で捕まえる。

ポイント

増えた浮力 ρSgx だけ書けばよい
K=ρSg → T=2π√(m/ρSg)
文字式から依存関係が分かる

よくある間違い

浮力全体を書いて式が複雑になる
ρSg の並びの一部を根号の外に出す
m/K の上下を逆にする