浮体の振動の文字式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 s11 の数値問題を文字式で一般化する。a02 で証明した「つり合いを基準にすれば一定力は消える」を最初から使い、増えた浮力だけを書く。

① 合力。 つり合いから $x$ 沈めると、排水体積が $Sx$ 増え、浮力の増加は $\rho \cdot Sx\cdot g$。もとのつり合い(重力=浮力)は相殺しているから、合力は増加分だけ:

$$F=-\rho Sgx$$

② 周期。 $F=-Kx$($K=\rho Sg$)の単振動だから

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho Sg}}$$

③ 数値検算。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{0.98}{1.0\times 10^3\times 1.0\times 10^{-2}\times 9.8}}=2\pi \sqrt{\frac{0.98}{98}}=2\pi \times 0.10=0.63秒$$

s11 の結果と一致する ✓。

まとめ 文字式 $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{\rho Sg}}$ は物理を語る: 重い浮きはゆっくり($m$ が分子)、太い浮き・濃い液体は速く($S,\rho$ が分母=水のばねが硬い)。数値だけの答えでは見えない依存関係が、文字式では一望できる——入試の文字式問題が「文字のまま」を要求する理由である。

別解

極端な場合で式を点検するルート。 導いた式は正しい振る舞いをするか:

• $S\to \infty$(超太い柱): $T\to 0$。少し沈めただけで巨大な浮力——ガチガチのばねで納得
• $\rho \to 0$(液体が薄い): $T\to \infty$。ほぼ復元力なし——ふわふわで納得
• $m$ 4 倍で $T$ 2 倍——ばね振り子の s03 と同じ構造

文字式を出したら極端な値で「物理として変でないか」を確かめる。この点検は導出ミス(上下逆など)を高確率で捕まえる。