物理 / 単振動

単振り子の周期の導出

★★★ 応用単振り子導出近似

問題

長さ $L$ の糸に質量 $m$ のおもりをつけた単振り子が、鉛直から小さい角 $θ$ だけ振れている。最下点からの弧に沿った変位を $x$ ( $= L θ$ )とする。(1) おもりにはたらく重力の、運動方向(接線方向)の成分の大きさを書け。 (2) $θ$ が十分小さいとき $sin θ \approx θ$ とみなせることを使い、復元力が $- \frac{m g}{L} x$ と書けることを示せ。 (3) 周期 $T$ を求め、 $L = 2.45 m$ 、 $g = 9.8 m/ s^{2}$ のときの値を計算せよ。

長さ L の単振り子。鉛直から θ 振れた状態(弧に沿った変位 x=Lθ)

ヒントを見る

重力 mg を糸方向と接線方向に分解する(斜面の分解と同じ要領)。sinθ≈θ の近似を入れると、力が変位 x に比例する形になる。そこまで来れば、ばね振り子の周期の導出と同じ手続きに乗せるだけだ。質量が消えるところまで見届けよう。

解答・解説

方針

接線方向の重力成分 mgsinθ を小角近似で mgθ=mg(x/L) に。−(mg/L)x は K=mg/L の復元力なので T=2π√(m/K)=2π√(L/g)。

解答

⓪ 発想(どう考え始めるか) 単振り子の周期の式 $T = 2 π L / g$ を導出する。方針はばね振り子の周期の導出と同じで、「復元力を $- (定数) x$ の形にする」ことだ。ただしここでは小角近似 $sin θ \approx θ$ という一歩が入る。

① 接線方向の重力成分。 重力 $m g$ を糸方向と接線方向(運動方向)に分解すると、接線方向は

$m g sin θ (最下点へ戻す向き)$

重力 mg を糸方向と接線方向に分解する。接線成分 mgsinθ が復元力

② 小角近似で復元力の形へ。

重要

θ

が小さいとき

sin θ \approx θ

(ラジアン)。たとえば

θ = 0.1 rad (\approx 5.7°)

で

sin θ = 0.0998

となり、誤差は 0.2 % である。

変位は弧の長さ $x = L θ$ すなわち $θ = \frac{x}{L}$ だから

$F = - m g sin θ \approx - m g θ = - \frac{m g}{L} x$

③ 周期。 $F = - K x$ ( $K = \frac{m g}{L}$ )の単振動だから

$T = 2 π \frac{m}{K} = 2 π \frac{m}{m g / L} = 2 π \frac{L}{g}$

質量 $m$ が約分で消える。だから振り子の周期はおもりの重さによらない(等時性)。数値は

$T = 2 π \frac{2.45}{9.8} = 2 π \times 0.50 = π \approx 3.1 秒$

まとめ等時性は「復元力 $\frac{m g}{L} x$ の $m$ と、慣性 $ma$ の $m$ が約分される」ことから生じる。重いおもりは強く引かれるが、その分動かしにくく、ちょうど相殺する(自由落下がみな同じ速さで落ちるのと同じ理屈)。また、 $sin θ \approx θ$ が崩れる大振幅では周期がわずかに延びる。「等時性は近似の上に成り立つ」ことまで言えると、なおよい。

答

(1) $m g sin θ$ (2) $F = - m g sin θ \approx - m g θ = - \frac{m g}{L} x$ (3) $T = 2 π \frac{L}{g} = π \approx 3.1$ 秒

別解

「見かけのばね定数」として整理するルート。 ②の結果 $K = \frac{m g}{L}$ を「振り子のばね定数」とみなすと、周期は全部 $T = 2 π m / K$ の 1 本に統一される。

ばね: $K = k$ → $T = 2 π m / k$
振り子: $K = \frac{m g}{L}$ → $T = 2 π L / g$
浮き: $K = ρS g$ → $T = 2 π m / ρS g$

公式が 3 つあるのではなく、 $K$ の中身が違うだけである。これが単振動の統一的な見取り図になる。

ポイント

接線成分 mgsinθ を小角近似で −(mg/L)x に
m が約分されて等時性が出る
K=mg/L の「見かけのばね」

よくある間違い

cosθ 成分を復元力にする
x=Lθ の関係を使わず θ のまま止まる
小角近似に触れずに sinθ=θ と断定する