振り子時計はどれだけ狂うか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 長さや重力加速度がわずかに変わったときの周期の変化を知りたい。そのたびに $T=2\pi \sqrt{L/g}$ を電卓で計算し直すのは効率が悪いし、小さな差が丸め誤差に埋もれてしまう。

そこで 割合(変化率)で考える。$T$ は $\sqrt{L}$ に比例し、$\frac{1}{\sqrt{g}}$ に比例している。平方根がついているので、中身が $1\%$ 変われば $T$ は $0.5\%$ 変わる。

$$\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}$$

符号に注意する。長さが伸びれば周期は長くなり(遅れる)、重力が強くなれば周期は短くなる(進む)。この1本の式で(1)から(4)まで全部が処理できる。

① 棒が伸びたとき。 $\frac{\Delta L}{L}=2.0\times 10^{-4}$ なので

$$\frac{\Delta T}{T}=\frac{1}{2}\times 2.0\times 10^{-4}=1.0\times 10^{-4}$$

1日あたりの遅れは

$$1.0\times 10^{-4}\times 8.64\times 10^4=8.64\fallingdotseq 8.6\mathrm{s}$$

たった $0.02\%$ 伸びただけで、1日に9秒近く狂う。

② 山の上の重力加速度。 $h=3200\mathrm{m}$、$R=6.4\times 10^6\mathrm{m}$ で $\frac{h}{R}=5.0\times 10^{-4}$ と小さい。

$${\left(\frac{R}{R+h}\right)}^2={\left(1+\frac{h}{R}\right)}^{-2}\fallingdotseq 1-2\times \frac{h}{R}=1-1.0\times 10^{-3}$$

$$\frac{\Delta g}{g}=-1.0\times 10^{-3}$$

約 $0.999$ 倍、$0.1\%$ だけ小さくなる。

③ 山の上での遅れ。

$$\frac{\Delta T}{T}=-\frac{1}{2}\times (-1.0\times 10^{-3})=5.0\times 10^{-4}$$

$$5.0\times 10^{-4}\times 8.64\times 10^4=43.2\fallingdotseq 43\mathrm{s}$$

1日に43秒も遅れる。①の温度による狂いの5倍である。

④ 合わせ直す。 周期を元に戻すには $\frac{\Delta T}{T}=0$ にすればよい。

$$\frac{1}{2}\frac{\Delta L}{L}-\frac{1}{2}\frac{\Delta g}{g}=0⟹\frac{\Delta L}{L}=\frac{\Delta g}{g}=-1.0\times 10^{-3}$$

$$\Delta L=-1.0\times 10^{-3}\times 0.99=-9.9\times 10^{-4}\mathrm{m}\fallingdotseq -1.0\mathrm{mm}$$

約 $1\mathrm{mm}$ 短くする。 振り子時計におもりの位置を上下させるねじが付いているのは、この調整のためである。

まとめ 変化率で見ると、$T=2\pi \sqrt{L/g}$ が「長さは半分、重力は逆向きに半分」という単純な足し算に化ける。$1\mathrm{mm}$ の狂いが1日で43秒になる、という感覚は、割合で計算してはじめて手に入る。

発展 — 一歩先へ。 振り子時計は、逆に使えば 重力加速度を測る道具 になる。周期を精密に測れば $g=\frac{4{\pi }^{2}L}{T^2}$ で $g$ が出る。

地下に密度の大きい鉱床があれば $g$ はわずかに大きくなる。この差を測って地下構造を探るのが重力探査で、石油や鉱脈の探索に使われてきた。$10^{-8}$ 程度の差まで読める装置もある。振り子ひとつで地面の下が見える、というのは物理の面白いところである。

別解

そのまま数値を入れて引き算するルート。 変化率の式を使わず、素直に2回計算しても確かめられる。

山の上の重力加速度は

$$g^{\prime }=9.8\times {\left(\frac{6.4\times 10^6}{6.4\times 10^6+3200}\right)}^2=9.7902m/{\mathrm{s}}^2$$

周期は

$$T=2\pi \sqrt{\frac{0.99}{9.8}}=1.99680\mathrm{s},T^{\prime }=2\pi \sqrt{\frac{0.99}{9.7902}}=1.99780\mathrm{s}$$

差は $0.00100\mathrm{s}$。1日の振動回数は $\frac{8.64\times 10^4}{2.0}=4.32\times 10^4$ 回だから、遅れは

$$0.00100\times 4.32\times 10^4=43.2\mathrm{s}$$

③と一致した。

ただしこのルートには落とし穴がある。$1.99680$ と $1.99780$ という、6桁目まで一致した2つの数の引き算になる。 電卓で4桁までしか出さなければ差が $0$ になってしまう。

小さい変化を扱うときは、大きい数どうしを引く前に、割合の式に直しておく ほうが安全である。①のような $10^{-4}$ の話では、この差が致命的になる。