物理 / 単振動

復元力

★ 基礎復元力

問題

ある物体(質量 $0.50 kg$ )にはたらく力が、振動の中心からの変位 $x$ に対して $F = - K x$ ( $K = 8.0 N/m$ )と表される。(1) $x = 0.30 m$ のときの力の大きさと向き (2) この物体の運動はどんな運動になるかを答えよ。

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常に中心へ引き戻す、変位に比例した力——この形の力には名前が付いている。運動方程式に入れて、b04 の定義式と見比べてみよう。

解答・解説

F=−Kx 型の力を復元力といい、この力を受ける物体は必ず単振動する。ma=−Kx から a=−(K/m)x で、ω²=K/m。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変位に比例して常に中心へ引き戻す力を復元力という。復元力だけを受ける物体の運動方程式は

$ma = - K x ⟹ a = - \frac{K}{m} x$

これは $a = - ω^{2} x$ の形——つまり単振動の定義そのものである。

① 力の大きさと向き。

$∣ F ∣ = K x = 8.0 \times 0.30 = 2.4 N (中心向き)$

② 運動の種類。 $ω^{2} = \frac{K}{m} = \frac{8.0}{0.50} = 16$ より

$ω = 4.0 rad/s の単振動$

どちら側にいても中心へ引き戻す、変位比例の力=復元力

まとめ 「 $F = - K x$ を見たら単振動、 $ω = K / m$ 」——この 1 行が単元の万能パスポートである。ばねはもちろん、浮力・振り子・トンネルまで、復元力の形さえ示せば周期が書ける。以降の問題はすべて「 $K$ にあたるものを探す作業」だと言ってよい。

答

(1) $2.4 N$ 、中心向き (2) 単振動( $ω = K / m = 4.0 rad/s$ )

比例定数の意味を単位で見るルート。 $K = 8.0 N/m$ は「中心から 1 m あたり 8.0 N で引き戻す強さ」。強いばねほど( $K$ 大)、軽い物体ほど( $m$ 小)、引き戻しが機敏になって $ω = K / m$ が大きく(周期が短く)なる。

$ω = 8.0/0.50 = 4.0 rad/s$ 、周期なら $T = \frac{2 π}{ω} = 1.6$ 秒。数式の前に「強い復元×軽い質量=速い振動」の感覚を置いておくと、式の形を間違えない。