物理 / 単振動

x-t・v-t・a-t グラフの対応

★★ 標準単振動グラフ

問題

単振動する物体の x-t グラフが $x = A sin ω t$ の形で与えられている。(1) v-t グラフと a-t グラフはそれぞれどんな関数の形になるか。 (2) 「速さが最大になる時刻」と「加速度の大きさが最大になる時刻」は、x-t グラフのどんな時刻に対応するか。

x=A sin ωt で与えられた x-t グラフ

ヒントを見る

v は x のグラフの「傾き」、a は v のグラフの「傾き」。x-t の傾きが最大なのはどこか、傾きが 0 なのはどこか——グラフを目でなぞって確かめよう。

解答・解説

方針

x を微分すると v、もう一度微分すると a。sin→cos→−sin と 1/4 周期ずつずれる。グラフの山谷と零点の対応で覚える。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $v$ は $x$ - $t$ グラフの傾き、 $a$ は $v$ - $t$ グラフの傾きである。 $sin$ の傾きは $cos$ 、 $cos$ の傾きは $- sin$ ——微分のリレーで 3 本のグラフがつながる。

① 関数の形。

$v = A ω cos ω t, a = - A ω^{2} sin ω t$

$v$ は $x$ より $1/4$ 周期早い $cos$ 型、 $a$ は $x$ の上下反転( $- sin$ 型)。

② 対応する時刻。

速さ最大: $x$ - $t$ の傾きが最も急な時刻=グラフが 0 を横切る時刻(中心通過)
加速度最大: $x$ - $t$ の山と谷の時刻(端。 $a = - ω^{2} x$ で $∣ x ∣$ 最大だから)

v(cos 型)は x(sin 型)より 1/4 周期先行する

まとめ 「 $x$ の零点で $v$ の山、 $x$ の山で $a$ の谷」。3 本のグラフを縦に並べ、縦線を 1 本引いて読む——この作図が位相問題の決定打である。 $a$ - $t$ が $x$ - $t$ の反転になるのは $a = - ω^{2} x$ の直訳で、係数 $ω^{2}$ 倍で振幅だけ変わる。

答

(1) $v = A ω cos ω t$ ( $cos$ 型)、 $a = - A ω^{2} sin ω t$ ( $- sin$ 型) (2) 速さ最大は x=0(中心通過)の時刻、加速度最大は x=±A(山・谷)の時刻

別解

円運動の影で位相を見るルート。 円運動の位置ベクトル・速度ベクトル・加速度ベクトルは、互いに 90° ずつ回った向きを向いている(速度は接線、加速度は中心向き)。影に映すと、この 90° のずれがそのまま「1/4 周期のずれ」になる。

位置→速度→加速度の順に 1/4 周期ずつ先行する——微分を知らなくても、円の絵から位相関係が導ける。

ポイント

sin→cos→−sin の微分リレー
x の零点=v の山、x の山=a の谷
3 本のグラフを縦に並べて縦線で読む

よくある間違い

v-t も sin 型とする
a-t を x-t と同位相にする
振幅の係数(Aω、Aω²)を付け忘れる