物理 / 単振動

v=ω√(A²−x²) の導出

★★★ 応用単振動のエネルギー導出

問題

角振動数 $ω$ 、振幅 $A$ で単振動する質量 $m$ の物体(ばね定数 $k = m ω^{2}$ のばね振り子とみなす)について、エネルギー保存則を用いて、変位が $x$ のときの速さ $v$ が

$v = ω A^{2} - x^{2}$

と表せることを導け。また、この式から速さが最大・最小になる位置を読み取れ。

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全エネルギーを端(x=±A)で評価すると ½kA²。任意の位置 x でのエネルギー保存の式を立てて v について解く。仕上げに k=mω² を入れると、質量が消えて ω だけの式になる。

解答・解説

方針

エネルギー保存 ½mv²+½kx²=½kA² を v について解き、k=mω² で m を消す。x=0 で最大 Aω、x=±A で 0。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 s06 で使った $v = ω A^{2} - x^{2}$ を導出する。材料はエネルギー保存則 1 本と、a01 で作った関係 $k = m ω^{2}$ である。

① エネルギー保存の式。 端( $x = \pm A$ 、 $v = 0$ )で全エネルギーを評価すると $\frac{1}{2} k A^{2}$ 。任意の位置 $x$ で

$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$

② v について解く。

$\frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} k (A^{2} - x^{2}) ⟹ v^{2} = \frac{k}{m} (A^{2} - x^{2})$

③ k=mω² を代入する。 $\frac{k}{m} = ω^{2}$ だから

$v^{2} = ω^{2} (A^{2} - x^{2}) ⟹ v = ω A^{2} - x^{2}$

④ 読み取り。

$x = 0$ (中心): 根号が最大で $v_{ma x} = A ω$ ——b03 の公式がここから出る
$x = \pm A$ (端): 根号が 0 で $v = 0$ (折り返し)

v=ω√(A²−x²) は x-v/ω 平面の円(一般には楕円)。端で 0、中心で最大

まとめ $v$ と $x$ の関係式 $\frac{x ^{2}}{A ^{2}} + \frac{v ^{2}}{( A ω ) ^{2}} = 1$ と書き直すと、 $x$ - $v$ 平面上の楕円になる(位相空間の軌道)。単振動は「楕円の上をぐるぐる回る運動」——エネルギー保存が楕円の式そのものである。

答

$\frac{1}{2} m v^{2} + \frac{1}{2} k x^{2} = \frac{1}{2} k A^{2}$ に $k = m ω^{2}$ を代入して $v = ω A^{2} - x^{2}$ 。最大は $x = 0$ (中心、 $v = A ω$ )、最小は $x = \pm A$ (端、 $v = 0$ )

別解

円運動の影から幾何で出すルート。 半径 $A$ 、角速度 $ω$ の等速円運動の影が単振動。影が $x$ にいるとき、円周上の物体は縦座標 $A^{2} - x^{2}$ の位置にいる。円運動の速さ $A ω$ のうち、影の方向の成分は「速度ベクトルと影の軸のなす角」の関係から

$v = A ω \times \frac{A ^{2} - x ^{2}}{A} = ω A^{2} - x^{2}$

エネルギーを一度も使わず、相似比だけで同じ式が出る。2 つの導出が一致することが、公式の信頼性の証明でもある。

ポイント

エネルギー保存を v について解く
k=mω² で質量を消す
x-v は楕円(位相空間)

よくある間違い

全エネルギーを ½kx² で評価する
根号の中を A−x とする
k/m の代入で ω でなく ω² を忘れる