円運動の正射影としての単振動

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 単振動とは、等速円運動を真横から見た影である。この対応が単振動のすべての公式の源泉になる。円の半径 $A$ が振幅に、角速度 $\omega$ が角振動数に、そのまま化ける。

① 振幅と角振動数。

$$A=0.10\mathrm{m},\omega =5.0rad/s$$

② 影の最大の速さ。 円運動の速さは常に $A\omega$ だが、影に映るのはその壁に平行な成分だけ。円運動の速度が壁と平行になるのは中心を通過する瞬間で、そのとき全部が影に映る。

$$v_{max}=A\omega =0.10\times 5.0=0.50m/s$$

まとめ 端では円運動の速度が壁と垂直になり、影は一瞬止まる($v=0$)。中心で最速・端で停止という単振動の速度分布が、影の見方から一目でわかる。$x=A\sin \omega t$、$v_{max}=A\omega$、$a_{max}=A{\omega }^2$——これらすべてが「円運動の射影」の一言から導ける。

別解

式で確かめるルート。 円運動の位置を $(A\cos \omega t,A\sin \omega t)$ とすると、影(y 成分)は $x=A\sin \omega t$。微分すれば $v=A\omega \cos \omega t$ で、最大値は $\cos \omega t=\pm 1$ のとき $A\omega =0.50m/s$。

$\sin$ が最大(端)のとき $\cos$ は 0(停止)、$\sin$ が 0(中心)のとき $\cos$ は最大(最速)——三角関数の相補関係が、影の直感とぴったり重なる。