振動する台の上の物体が滑り出すとき

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 物体には水平方向に、台からの摩擦力しかはたらいていない。その摩擦力が物体を単振動させている のである。

単振動では加速度の大きさが ${\omega }^2|x|$ で、中央では $0$、端で最大の $A{\omega }^2$ になる。したがって必要な摩擦力も端で最大になる。

静止摩擦力には $\mu mg$ という上限がある。端で必要な力がこの上限を超えた瞬間に滑り出す。 どこで滑り出すかが分かれば、条件は1本の不等式になる。

① 物体を振動させている力。 物体にはたらくのは、重力、台からの垂直抗力、そして摩擦力である。前の2つは鉛直方向でつり合う。水平方向にあるのは 静止摩擦力だけ で、これが物体を単振動させている。

単振動する物体の加速度は $a=-{\omega }^{2}x$ だから、必要な力は

$$F=m{\omega }^2|x|$$

これが最大になるのは端($|x|=A$)で

$$F_{\max }=mA{\omega }^2=m\times 0.080\times 7.0^2=3.92m[\mathrm{N}]$$

② 必要な摩擦係数。 滑らない条件は、必要な力が静止摩擦の上限を超えないことである。

$$mA{\omega }^2\le \mu mg$$

質量 $m$ が両辺から消える。どんな重さの物体でも条件は同じ である。

$$\mu \ge \frac{A{\omega }^2}{g}=\frac{3.92}{9.8}=0.40$$

③ 振幅を2倍。 $A$ が2倍になれば必要な加速度も2倍だから

$$\mu \ge 0.80$$

④ 振動数を2倍。 $\omega$ が2倍になると ${\omega }^2$ は4倍である。

$$\mu \ge 0.40\times 4=1.6$$

$1$ を超えてしまうので、ふつうの材質では滑らずにはいられない。

まとめ 摩擦力が唯一の水平力、という見立てから始める。必要な力は端で最大、そこで上限とくらべる。質量が消えるので、条件は「振幅と振動数と摩擦係数」だけの関係になる。

発展 — 一歩先へ。 地震で物が滑ったり倒れたりするかどうかも、この計算そのものである。地面の加速度は $A{\omega }^2$ で、ゆっくり大きく揺れるより、小刻みに速く揺れるほうが危ない。振幅が同じでも振動数が2倍なら加速度は4倍になるからだ。

震度は地面の加速度の大きさで測られている。棚の上の物が飛び出すかどうかを決めるのは揺れ幅そのものではなく、加速度である。

別解

「見かけの重力」の向きで判断するルート。 台と一緒に動く立場に立つと、物体には外向きに慣性力 $mA{\omega }^2$ がはたらき、静止して見える。

このとき物体が感じる見かけの重力は、下向きの $mg$ と水平の $mA{\omega }^2$ を合わせたもので、鉛直から

$$\tan \alpha =\frac{A{\omega }^2}{g}$$

だけ傾いている。

台の面が受け止められる力の向きには限りがあり、面に垂直な向き(ここでは鉛直)から 摩擦角 $\phi$($\tan \phi =\mu$)以内 でなければならない。したがって滑らない条件は

$$\alpha \le \phi ⟺\tan \alpha \le \tan \phi ⟺\frac{A{\omega }^2}{g}\le \mu$$

②と同じ式になった。

この見方だと、③④で条件が厳しくなる理由が「見かけの重力の傾きが大きくなるから」と一言で言える。斜面に物を置いたとき $\tan \theta \le \mu$ で滑らない、という話と完全に同じ形をしている。