物理 / 単振動

ばね振り子の周期の導出

★★★ 応用ばね振り子導出

問題

なめらかな水平面上で、ばね定数 $k$ のばねに質量 $m$ の物体をつけて振動させる。(1) 自然長からの変位が $x$ のときの物体の運動方程式を書け。 (2) 単振動の加速度の式 $a = - ω^{2} x$ と比較して、角振動数 $ω$ と周期 $T$ を $k, m$ で表せ。 (3) $k = 20 N/m$ 、 $m = 0.20 kg$ のときの $ω$ を求めよ。

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運動方程式を書いたら a= の形に整理し、単振動の加速度の式と「係数どうし」を見比べる。ω が読み取れれば周期は換算式で出る。公式を「使う」のでなく「作る」問題である。

解答・解説

方針

運動方程式 ma=−kx を a=−(k/m)x と変形し、a=−ω²x と係数比較して ω²=k/m。T=2π/ω。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 これまで使ってきた $T = 2 π m / k$ を、運動方程式から自分の手で作る。手順は「運動方程式を書く→ $a = - ω^{2} x$ と係数比較」の 2 段だけである。

① 運動方程式。 変位 $x$ のとき、ばねの力は $- k x$ (復元力)。

$ma = - k x$

② 係数比較。 両辺を $m$ で割ると

$a = - \frac{k}{m} x$

重要加速度が

a = - (正の定数) \times x

の形に書けたら、その運動は単振動で、正の定数が

ω^{2}

である

$a = - ω^{2} x$ と見比べて

$ω^{2} = \frac{k}{m} ⟹ ω = \frac{k}{m}, T = \frac{2 π}{ω} = 2 π \frac{m}{k}$

③ 数値。

$ω = \frac{20}{0.20} = 100 = 10 rad/s$

変位 x のとき力は −kx。運動方程式から ω を読み出す

まとめ 公式の出どころは運動方程式 1 本である。「 $a = - (定数) x$ の形に持ち込む→定数が $ω^{2}$ 」——この認定手続きさえ身につけば、浮き(s11)・U字管(a06)・地球トンネル(a07)など、ばね以外の単振動もすべて同じ流儀で周期が出せる。

答

(1) $ma = - k x$ (2) $ω = \frac{k}{m}$ 、 $T = 2 π \frac{m}{k}$ (3) $ω = 10 rad/s$

別解

次元(単位)で式の形を当てるルート。 周期は時間 [s]。手持ちの材料は $m$ [kg] と $k$ [N/m]=[kg/s²]。 $\frac{m}{k}$ の単位は [s²] だから、 $m / k$ が時間の次元を持つ唯一の組み合わせである。

よって $T = (無次元の定数) \times m / k$ の形しかありえない(定数 $2 π$ は係数比較で決まる)。次元解析は導出の検算にも、公式ど忘れ時の復元にも効く。

ポイント

運動方程式→a=−(k/m)x
a=−ω²x と係数比較で ω²=k/m
この手順が全単振動の周期の源

よくある間違い

ω²=m/k と上下を逆にする
復元力の負号を落として比較不能になる
T=2π/ω の換算を忘れて ω を答える