ばねを切ると振動はどう変わるか

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「ばねを切るとばね定数が変わる」は、公式ではなく 伸びの配分 から出る話である。

一様なばねを力 $F$ で引くと、ばねのどの部分も同じ $F$ で引かれている(内部で力が減ることはない)。そして伸びは、長さに比例して分け合われる。

だから半分の長さの部分は、全体の伸びの半分しか伸びていない。同じ力に対して伸びが半分なら、ばね定数は2倍 である。

$$k\propto \frac{1}{\text{長さ}}$$

この1本を認めれば、(2)(3)(4) はすべて割り算で片づく。

① 元の周期。

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{60}{0.60}}=\sqrt{100}=10rad/s$$

$$T_0=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\times 3.14}{10}=0.628\fallingdotseq 0.63\mathrm{s}$$

② 半分に切る。 元のばね全体を力 $F$ で引いて、全体が $x$ 伸びているとする。上半分と下半分は同じ力 $F$ で引かれ、伸びはそれぞれ $\frac{x}{2}$ ずつである。

切り離しても、その半分だけを力 $F$ で引けば伸びは $\frac{x}{2}$ のままである。ばね定数は

$$k^{\prime }=\frac{F}{x/2}=\frac{2F}{x}=2k=120N/m$$

短いばねほど硬い。 直感に反するように思えるが、「伸びる余地が半分しかない」と考えれば納得できる。

③ 周期の比。

$$\frac{T^{\prime }}{T_0}=\sqrt{\frac{k}{k^{\prime }}}=\sqrt{\frac{60}{120}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\fallingdotseq 0.71\text{倍}$$

硬くなったぶんだけ速く振動する。

④ $1:2$ に切る。 長さが $\frac{1}{3}$ の部分と $\frac{2}{3}$ の部分になる。ばね定数は長さに反比例するので

$$k_{\text{短}}=3k=180N/m,k_{\text{長}}=\frac{3}{2}k=90N/m$$

この2本を直列につなぐと、合成のばね定数は

$$\frac{1}{k_{\text{合成}}}=\frac{1}{180}+\frac{1}{90}=\frac{1}{180}+\frac{2}{180}=\frac{3}{180}=\frac{1}{60}$$

$$k_{\text{合成}}=60N/m$$

もとの値に戻った。切ってつなぎ直せば元のばねなのだから、当然である。

まとめ ばね定数は長さに反比例する。これを認めると、直列の公式 $\frac{1}{k}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$ は「つなぐと長くなるから柔らかくなる」という当たり前の話に見えてくる。

発展 — 一歩先へ。 同じ見方で並列も説明できる。同じばね2本を並べて一緒に引くのは、太いばね1本で引くのと同じ である。太いばねは硬いので

$$k_{\text{並列}}=k_1+k_2$$

つまり「直列 = 長くする = 柔らかくなる(逆数の和)」「並列 = 太くする = 硬くなる(そのまま和)」と読める。公式を2つ暗記するかわりに、長さと太さの1組で覚えられる。

ばね定数が材料と形でどう決まるかまで踏み込むと、$k$ は線の太さの4乗に比例し、巻きの半径の3乗と巻き数に反比例する。巻き数が長さに対応するので、ここでも「長い(巻き数が多い)ほど柔らかい」が出てくる。

別解

エネルギーで確かめるルート。 ばね定数が2倍になることを、蓄えられるエネルギーの側から確かめてもよい。

元のばねを $x$ 伸ばしたとき、蓄えられるエネルギーは $\frac{1}{2}k{x}^2$ である。このとき上半分と下半分はそれぞれ $\frac{x}{2}$ ずつ伸びていて、対称性から蓄えているエネルギーも等しい。だから半分ずつ、つまり

$$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{4}k{x}^2$$

を各半分が蓄えている。

一方、ばね定数 $k^{\prime }$ のばねが $\frac{x}{2}$ 伸びたときのエネルギーは

$$\frac{1}{2}{k}^{\prime }{\left(\frac{x}{2}\right)}^2=\frac{1}{8}{k}^{\prime }{x}^2$$

この2つが等しいので

$$\frac{1}{8}{k}^{\prime }{x}^2=\frac{1}{4}k{x}^2⟹k^{\prime }=2k$$

②と同じ結論になった。

力と伸びで追うルートと、エネルギーで追うルートのどちらからも $2k$ が出る。同じ物理量を2つの道から出して一致させる のは、答えの確かめ方として使いやすい。